“Inteligência Artificial: A Nova Fronteira da Ciência Brasileira”
19 a 24 de outubro de 2020
Trabalho 14373
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Geometria e Topologia |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - Campus Florestal |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Mariana Renata Barbosa |
| Orientador | JUSTINO MUNIZ JUNIOR |
| Título | Sobre o estudo topológico de fluxos em superfícies compactas |
| Resumo | Introdução: Em um dado sistema dinâmico, encontrar os conjuntos limites das órbitas dos fluxos é essencial para obter propriedades qualitativas interessantes. Para isso, começamos estudando a teoria das equações diferenciais ordinárias, ou seja, as propriedades gerais das funções que são soluções desse tipo de equação. Objetivos: Introduzira pesquisa científica na área de Sistemas Dinâmicos, aprimorando o espírito crítico e despertando o interesse em cursar pós-graduação nesta área da Matemática. Mais especificamente, provar alguns resultados importantes da teoria de fluxos em superfícies compactas, como por exemplo, o teorema do fluxo tubular, o teorema de Poincaré-Bendixson e o Teorema de Poincaré-Hopf, sendo este último o principal resultado deste trabalho. Metodologia: Encontros semanais, onde discutíamos assuntos previamente estudados. Resultados:Inicialmente, desenvolveram-se conceitos e resultados básicos da teoria das equações diferenciais ordinárias e provamos o Teorema de existência e unicidade de soluções para o problema de Cauchy. Estudamos as equações diferenciais lineares e classificamos os sistemas deste tipo no plano. Depois de feito o estudo preliminar relatado acima, começamos o estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais. Nesta parte do projeto, nos dedicamos ao estudo das características globais das soluções e a estabilidade, isto é, as conseqüências causadas por pequenas perturbações nas condições iniciais. Provamos o teorema do fluxo tubular que diz que, localmente, existe um difeomorfismo que conjuga um campo com singularidade a um campo constante. Outro importante resultado mostrado é o teorema de Poincaré-Bendixson que classifica todos os conjuntos limites de um fluxo definido no plano ou na esfera bidimensional. Estudamos também as superfícies compactas e um dos principais teoremas da geometria diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Este afirma que o excesso sobre π das somas dos ângulos internos de um triangulo geodésico T é igual à integral da curvatura Gaussiana sobre T. O número χ(P)=v-e+f onde P é um poliedro com v vértices, e arestas e f faces é chamado de característica de Euler e é um invariante topológico que desempenha um importante papel para várias áreas da geometria e topologia. O último Teorema estudado, o teorema de Poincaré-Hopf relaciona a característica de Euler com a soma dos índices de um campo numa singularidade hiperbólica. Mais especificamente, o teorema diz que a soma dos índices de um campo de vetores diferenciável v com singularidades isoladas em uma superfície compacta S é igual à característica de Euler de S. Conclusões: A área de Sistemas Dinâmicos é recente na matemática e possui grande diversidade de temas para pesquisa. Realizamos um estudo da teoria de fluxos em superfícies compactas e provamos vários resultados importantes. Uma conseqüência do teorema de Poincaré-Hopf é que a esfera bidimensional não admite um campo sem singularidades. |
| Palavras-chave | Superfícies compactas, Característica de Euler, Fluxos em superfícies |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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