“Inteligência Artificial: A Nova Fronteira da Ciência Brasileira”
19 a 24 de outubro de 2020
Trabalho 13068
| ISSN | 2237-9045 |
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| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Geometria e Topologia |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Primeiro autor | Ellen Peixoto de Oliveira |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | O Teorema de Abel via Grupos de Monodromias |
| Resumo | A resolução de equações algébricas de primeiro e segundo graus em uma variável é tratada desde o ensino fundamental. Também existem resoluções para equações de terceiro e quarto graus. A busca por estas últimas constituiu num dos mais belos capı́tulos da história da matemática no século XVI, envolvendo nomes como Cardano, Tartaglia, Del Ferro, Vieté, Ferrari, entre outros. Para equações de grau maior ou igual a cinco não existe uma resolução envolvendo apenas radicais, este resultado foi obtido por Abel em 1824. Geralmente a prova do Teorema de Abel nos cursos de graduação é feita através da teoria clássica de Galois, via extensões de corpos e grupos de Galois. Neste projeto será mostrado que o Teorema de Abel é, na verdade, de natureza topológica. O ambiente de trabalho são as Superfı́cies de Riemann e o papel desempenhado pelos grupos de Galois serão assumidos pelos grupos de monodromias. Monodromias são permutações nas fibras de um ponto induzidas por uma função algébrica f(z) após um loop em torno de um ponto de ramificação. O grupo gerado por tais permutações é o grupo de monodromias de f(z). Definimos como grupo solúvel o grupo cuja série de comutadores se estabiliza no grupo trivial {e}. É interessante destacar que as Superfı́cies de Riemann são, em geral, superfı́cies muito complicadas, principalmente para visualizá - las. Uma simplificação é feita por um diagrama, denominado Esquema de Riemann, que é usado como uma forma alternativa de representá - las. Nesta apresentação incluímos resultados parciais relacionados a construção e a ilustração esquemas de algumas funções radicais. No prosseguimento do trabalho obteremos mais desses diagramas, relacionamos os conceitos de monodromias com solubilidade e provamos os dois teoremas seguintes. Teorema: Se uma função complexa de multivalores h(z) é representável por radicais então seu grupo de monodromias é solúvel. Teorema de Abel: Equações algébricas de grau maior ou igual a cinco não possui soluções expressas por radicais. A metodologia empregada neste projeto foi a leitura de livros, artigos científicos e encontros semanais para discussão de temas estudados. |
| Palavras-chave | Superfícies de Riemann, monodromias, Teorema de Abel |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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