“Inteligência Artificial: A Nova Fronteira da Ciência Brasileira”
19 a 24 de outubro de 2020
Trabalho 14018
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Geometria e Topologia |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - Campus Florestal |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Ana Carolina Santos Martins |
| Orientador | ALEXANDRE ALVARENGA ROCHA |
| Título | O teorema de Hartman-Grobman |
| Resumo | As equações diferenciais ordinárias (EDO's) modelam fenômenos naturais, físicos e biológicos. Já nas áreas da matemática, como na Topologia e no Cálculo, são ferramentas para resolução de problemas. A impossibilidade em se obter explicitamente a solução quantitativa, na "maioria" dos casos, releva, ainda mais, a importância de soluções qualitativas. No estudo qualitativo entendemos sobre as propriedades assintóticas, como é o caso da estabilidade, da periodicidade e hiperbolicidade, e como pequenas perturbações podem afetar um sistema. Este projeto teve como objetivo principal o entendimento do Teorema de Hartman-Grobman, que determina o comportamento das soluções de um campo de vetores em torno de singularidades hiperbólicas, assim como sua prova, elementos e aplicabilidade. Para tanto se fez necessário que o objetivo de estudar conceitos básicos e propriedades dinâmicas das EDO's fosse alcançado, afim de que eles sejam ferramentas para o orientando entender a teoria qualitativa e sua relevância para a matemática. Ademais, objetiva ingressar o orientando na pesquisa científica na área de Sistemas Dinâmicos, despertar e aprimorar o espírito crítico científico e propiciar uma base matemática para um possível curso de pós-graduação. A metodologia utilizada ao longo da pesquisa foi de estudos contínuos dos temas propostos pelo orientador, essenciais para o êxito dos objetivos. A priori um estudo individualizado do tema e posteriormente um encontro semanal com o orientador para discussões do mesmo. Como fruto do trabalho obtivemos uma classificação das singularidades em nós, selas, centros e focos, no caso de sistemas lineares bidimensionais. O que nos permite um olhar geométrico das soluções desses sistemas, o dito retrato de fase. Os outros dois resultados principais destacados são o Teorema do Fluxo Tubular e o Teorema de Hartman-Grobman. O primeiro diz que em torno de pontos regulares de um campo de vetores é sempre possível conjugá-lo topologicamente ao campo constante, de modo corriqueiro é como se pudéssemos fazer tubos nas vizinhanças desses pontos e o fluxo se manteria dentro dele. Já o resultado principal diz que em torno de singularidades hiperbólicas, campos de classe C^^^^1 são topologicamente conjugados ao campo linear, determinado pela matriz jacobiana associado ao campo em questão no ponto. Assim, é sempre possível linearizar um campo nas vizinhanças de singularidades hiperbólicas. Concluímos que que se aplicarmos pequenas perturbações locais a um campo linear, a "linearidade" das soluções é preservada em uma vizinhança, a menos de um homeomorfismo e em pontos hiperbólicos associados ao campo resultante da perturbação, o Teorema de Hartman-Grobman. Esse teorema nos permitiu conhecer a riqueza dinâmica, e um tanto complexa, em torno de singularidades hiperbólicas. E com elas obtemos uma ideia global do comportamento das soluções em sistemas não-lineares. Link: https://www.youtube.com/watch?v=na3-LoWejwU&t=2s |
| Palavras-chave | Campo de vetores, Fluxos de campos, Linearização |
| Forma de apresentação..... | Vídeo |
| Link para apresentação | Vídeo |
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