"Ciências Básicas para o Desenvolvimento Sustentável"
24 a 26 de outubro de 2023
Trabalho 19307
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Álgebra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | PAULA CUPERTINO COSTA RIBEIRO |
| Orientador | SONIA MARIA FERNANDES |
| Título | Tópicos de topologia algébrica |
| Resumo | A incorporação da álgebra à topologia deu origem a um novo ramo da matemática, onde é possível descrever a estrutura de um espaço topológico associando-o com um sistema algébrico, normalmente um grupo ou uma sequência de grupos. Este ramo, denominado topologia algébrica, consiste em resolver problemas topológicos através de métodos essencialmente algébricos. Um tópico importante nesta área é o conceito de homologia simplicial, que estuda os espaços topológicos cujos componentes estruturais são n-simplexos. Estes espaços são homeomorfos a um poliedro, onde o homeomorfismo, que se trata de uma triangularização do espaço dado, pode ser entendido como uma aplicação que preserva a estrutura topológica e um poliedro é, intuitivamente, um subconjunto de Rn composto por vértices, arestas, triângulos, tetraedros e assim por diante. Outro tópico importante é a ideia de homotopia e o invariante algébrico mais simples associado a ela é, provavelmente, o grupo fundamental. A noção de grupo fundamental, conhecida e utilizada atualmente, deve-se ao matemático francês Henri Poincaré (1854-1912) que, em 1985, o definiu em seu artigo Analysis situs. Na Topologia Algébrica, este trata-se de um grupo ligado a qualquer espaço topológico que permite determinar quando dois caminhos, que começam e terminam em um mesmo ponto, podem ser deformados de forma contínua um no outro. Geometricamente, o mesmo fornece informações sobre os "buracos" de dimensão um do espaço topológico. Na maioria das vezes, não é simples determinar estes grupos, assim é natural buscarmos por uma maneira viável de efetuar esses cálculos. Nesse sentido, uma alternativa razoável é relacionar os grupos de homologia simplicial com os grupos de homotopia, o Teorema de Hurewicz mostra como isso pode ser feito. O objetivo deste trabalho é apresentar a ideia geométrica da teoria de homologia simplicial e grupo fundamental, proporcionando uma visão ampla da importância dessas teorias. Como exemplo vamos exibir o grupo de homologia simplicial de alguns espaços topológicos, em particular, do plano projetivo. Além disso, será apresentado o Teorema de Hurewicz, resultado que conecta o grupo fundamental com a teoria da homologia simplicial. A metodologia utilizada no desenvolvimento deste trabalho consistiu no estudo de livros e artigos relacionados ao tema apontado pela orientadora. Foram dedicadas 20 horas semanais para desenvolver estudo dos tópicos propostos, sendo 2 dessas horas usadas para discussões com a orientadora a fim de sanar dúvidas e também foram feitas exposições dos resultados pela bolsista à orientadora. Os resultados obtidos foram satisfatórios já que desenvolveram um conhecimento sobre álgebra, topologia e topologia algébrica. Com o estudo destes assuntos a bolsista desenvolveu seu interesse em seguir a pesquisa em um curso de pós-graduação. |
| Palavras-chave | Grupo fundamental, Homologia, Homotopia |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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