"Ciências Básicas para o Desenvolvimento Sustentável"
24 a 26 de outubro de 2023
Trabalho 18050
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Geometria e Topologia |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Júlio Gama Ramalho de Oliveira |
| Orientador | ADY CAMBRAIA JUNIOR |
| Título | Superfícies Invariantes em M^2 x R |
| Resumo | Neste projeto, nosso objetivo principal consistiu em estudar as superfícies invariantes por isometrias nos espaços tridimensionais R^3 e H^2 x R. Para alcançar esse objetivo, dedicamos nosso tempo inicialmente a investigar as principais características da geometria desses espaços, estabelecendo paralelos sempre que possível. De maneira mais precisa, aprofundamos nosso conhecimento em dois modelos de H^2: o semi-plano superior e o disco de Poincaré. Em ambos os modelos, estudamos meticulosamente as métricas, funções relevantes, resultados significativos e, acima de tudo, as isometrias associadas a esses modelos. Posteriormente, aprofundamos nossa compreensão por meio da leitura de resultados e conceitos clássicos da geometria diferencial em R^3, incluindo a primeira e a segunda forma fundamental, as curvaturas principais de uma superfície regular, o Teorema de Gauss-Bonnet, além de exemplos de superfícies totalmente umbílicas, entre outros. Com todas essas ferramentas em mãos, pudemos expandir nossa teoria e discorrer de maneira mais profunda sobre alguns temas fundamentais em nosso trabalho. Por exemplo, estudamos métricas riemannianas, como aquelas presentes em H^2, e ampliamos o conceito de derivada covariante para qualquer variedade riemanniana, estabelecendo o que chamamos de conexão de Levi-Civita. A partir desse ponto, analisamos as principais propriedades dessa conexão e alguns resultados de grande relevância para o projeto. Dessa forma, ampliamos, de modo natural, a maior parte do conhecimento adquirido no espaço R^3. Em outras palavras, tornou-se possível calcular os coeficientes da primeira e da segunda formas fundamentais, assim como as curvaturas principais, para qualquer superfície em H^2 x R. Com base nisso, aprofundamos ainda mais nosso estudo na variedade H^2 x R, considerando H^2 em ambos os modelos previamente mencionados. Um resultado importante observado foi a classificação das isometrias nesse espaço: toda isometria de H^2 x R é composta por uma isometria de H^2 e uma isometria de R, e vice-versa. A partir daí, trabalhamos em estudar algumas superfícies invariantes por isometrias que vimos em H^2: superfícies invariantes por rotações, por translações parabólicas e por translações hiperbólicas e construímos um modelo computacional no aplicativo Mathematica para calcular os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental, assim como as curvaturas principais. Assim, na parte final do projeto, vimos alguns teoremas relevantes sobre essas superfícies em H^2 x R, como a caracterização das superfícies que são totalmente umbílicas. |
| Palavras-chave | geometria hiperbólica, isometrias, variedade homogênea tridimensional |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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