"A Transversalidade da Ciência, Tecnologia e Inovações para o Planeta"
5 a 7 de outubro de 2021
Trabalho 15297
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Análise |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Carolina Santana Tomaz |
| Orientador | MARGARETH DA SILVA ALVES |
| Título | Resultados clássicos da Análise Funcional e suas consequências. |
| Resumo | A Análise Funcional é uma das áreas centrais da Matemática moderna, que trata do estudo dos espaços vetoriais normados, em especial os espaços de Banach e Hilbert, e dos operadores lineares contínuos entre eles. Pode-se dizer que a Análise Funcional é uma Álgebra Linear em espaços de dimensão infinita com o uso de ferramentas da topologia. Ela é uma generalização natural da Álgebra Linear clássica e destaca-se por desempenhar um papel crucial nos mais diversos ramos da Matemática. O objetivo deste projeto é desenvolver um estudo sobre tópicos da teoria da Análise Funcional, selecionando alguns resultados importantes. Este trabalho apresenta as atividades desenvolvidas no Programa de Iniciação Científica e Mestrado- PICME, durante o período de janeiro de 2021 a julho de 2021. A metodologia utilizada neste projeto de pesquisa foi a de estudos de livros e discussões com a orientadora do projeto sobre os resultados apresentados, bem como de outros conteúdos relacionados com o tema. O estudo sobre tópicos da teoria da Análise Funcional começou com a apresentação dos teoremas de Hahn-Banach em sua forma analítica e nas formas geométricas. A fim de estudarmos as formas geométricas de Hahn-Banach, são apresentados alguns resultados preliminares de hiperplanos e do funcional de Minkowski. Depois, continuamos com outros teoremas clássicos da análise funcional: o teorema de Baire, o teorema de Banach-Steinhaus, o teorema da Aplicação Aberta e o teorema do Gráfico Fechado. O teorema de Baire é um resultado de topologia geral que afirma que todo espaço métrico completo, não vazio, não pode ser uma união enumerável de conjuntos cujo fecho tem interior vazio. Tal resultado é essencial para a verificação do teorema de Banach-Steinhaus que indica que se uma família de operadores for limitada pontualmente então essa família de operadores admite uma limitação uniforme. Em seguida, tratamos do teorema da Aplicação Aberta. Este é mais um resultado famoso da Análise Funcional devido a Banach e garante que toda aplicação linear contínua e sobrejetiva entre espaços de Banach é uma aplicação aberta. Por fim, estudamos o teorema do Gráfico Fechado, que acaba por ser uma aplicação importante do teorema da Aplicação Aberta. Este resultado afirma que para dado operador linear fechado entre espaços de Banach, se o domínio do operador é fechado, então ele é contínuo. Por fim, serão apresentados algumas consequências e aplicações dos resultados apresentados. |
| Palavras-chave | teoremas de Hahn-Banach, teorema de Banach-Steinhaus, teorema da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado. |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
|---|