"A Transversalidade da Ciência, Tecnologia e Inovações para o Planeta"
5 a 7 de outubro de 2021
Trabalho 15019
| ISSN | 2237-9045 |
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| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Geometria e Topologia |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Primeiro autor | Ellen Peixoto de Oliveira |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Classificação de 2-Variedades Topológicas Compactas |
| Resumo | Uma das principais conquistas matemáticas no início do século XXI foi a demonstração da conjectura de Poincaré, feita por G. Perelman em 2006. De enunciado simples, a conjectura afirma que toda variedade tridimensional fechada com grupo fundamental trivial é homeomorfa a 3-esfera. Esta afirmação aguardou mais de cem anos por uma prova e fez parte da lista de sete problemas do milênio estabelecida pelo Instituto Clay, buscada, sem sucesso, por grandes matemáticos do século XX. Toda esta importância atribuída a conjectura de Poincaré se deve ao fato dela estar contida num problema ainda maior. A classificação de variedades topológicas n-dimensionais, para n maior que 2, um dos grandes desafios da matemática e ainda longe de uma solução. Intuitivamente, uma superfície ou variedade bidimensional é um espaço topológico com propriedades locais similares as do plano Euclidiano. Neste trabalho, apresentamos a classificação de variedades bidimensionais compactas orientáveis e não orientáveis. Esta classificação foi obtida em 1860, embora a prova mais conhecida nos textos atuais, por métodos combinatórios, seja a de H. Seifert e W. Threlfall de 1934, a qual seguimos neste projeto. Assim, apresentamos as representações poligonais de superfícies como a esfera, o toro, o plano projetivo, a faixa de Möbius, a garrafa de Klein, e suas somas conexas. Por meio de triangulações obtemos invariantes topológicos como a característica de Euler e o genus. Explicitamos ainda outro importante invariante algébrico, contido na conjectura de Poincaré, o grupo fundamental. Por fim, apresentamos o teorema de classificação que estabelece que toda superfície compacta é homeomorfa a uma 2-esfera, ou a uma soma conexa de toros, ou ainda a uma soma conexa de planos projetivos. Como prosseguimento do projeto, ainda em andamento, pretendemos estabelecer conexões entre tais superfícies compactas e curvas algébricas complexas. A metodologia empregada neste trabalho foi a leitura de livros e encontros semanais para a discussão de temas estudados. |
| Palavras-chave | Superfícies compactas, característica de Euler, grupo fundamental |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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