"A Transversalidade da Ciência, Tecnologia e Inovações para o Planeta"
5 a 7 de outubro de 2021
Trabalho 14951
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Álgebra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Joice Graziele Martins da Silva |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Números na categoria de conjuntos |
| Resumo | Os números são de suma importância para a matemática, desde suas origens até os dias atuais. Muitas vezes, erroneamente, a matemática até mesmo é identificada como a ciência dos números. Algumas das comparações que o homem formula, estão ligadas conscientes ou não, às noções aritméticas. Os números inteiros e racionais surgiram de forma intuitiva. Na Grécia Antiga, através da descoberta do √2, os números reais apareceram. Em 1889, Guiseppe Peano apresentou em Arithmetica Principia Nova Methodo Exposita pela primeira vez, uma construção axiomática dos números naturais. A partir do desta abordagem conjuntista, onde os elementos desempenham o papel principal, temos interesse em estender tal construção para uma abordagem categórica, em que os morfismos exercem o papel principal. Introduzida na topologia algébrica na década de 1940 por Eilemberg e Mac Lane, a teoria de categorias se aplicou com êxito em várias outras áreas da matemática. Uma das razões para isto, é sua capacidade de fortalecer o poder de uma teoria em ambientes mais ricos. Nesta apresentação, temos como objetivo fazer a construção dos números através da abordagem conjuntista, partindo dos axiomas de Peano. Para isto, expressaremos estes axiomas em termos de conjuntos e funções, admitindo-se que existe um conjunto não vazio N, um elemento distinto 0 ∈ N e uma função σ definida por σ : N → N. A princípio, os números naturais serão estruturados com todas suas características algébricas, incluindo as operações de soma, produto e uma relação de ordem, mostrando que todas elas estão bem definidas. A partir dos naturais, usa-se convenientes relações de equivalência para a construção dos inteiros e racionais. E de modo análogo ao feito para os naturais, as propriedades de soma, produto e relações de ordem serão introduzidas. Para construir os números reais, utiliza-se uma abordagem mais sofisticada, os Cortes de Dedekind, e novamente inserimos algumas propriedades importantes de tal estrutura. Em suma, finalizamos a construção dos números na categoria de conjuntos, demonstrando as propriedades das operações e relações para cada estrutura de números. Conjuntos e funções são casos particulares de uma específica categoria Sets. Observamos que, embutido nos axiomas de Peano, encontra-se assumido a existência de conjuntos infinitos. Uma pergunta natural é, em outras categorias mais gerais, como se comporta este conceito de infinitude e sua relação com conceitos numéricos. O trabalho prossegue buscando generalizar a construção de Peano para categorias. A estrutura mais geral que se pretende trabalhar é a de Topos, que generaliza espaços topológicos. Estudaremos Topos com objeto número natural e relações de equivalências categóricas com a finalidade de aprofundar o conceito de infinito. Tais informações são de grande importância, tanto na matemática quanto na ciência da computação. |
| Palavras-chave | Números, teoria de conjuntos, teoria de categorias |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
|---|