"Ciências Básicas para o Desenvolvimento Sustentável"
24 a 26 de outubro de 2023
Trabalho 18425
| ISSN | 2237-9045 |
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| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Álgebra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Ana Flávia Câmara |
| Orientador | MARINES GUERREIRO |
| Título | Tópicos especiais em álgebra |
| Resumo | Por volta de 1650, Pierre de Fermat fez uma anotação na margem do seu exemplar do livro Aritmética de Diofanto: "Dividir um cubo em dois cubos, uma quarta potência, ou em geral uma potência qualquer em duas potências da mesma denominação acima da segunda é impossível, e eu seguramente encontrei uma prova admirável desse fato, mas a margem é estreita demais para contê-la." Porém, Fermat não escreveu a prova que achava ter obtido deste teorema, conhecido como o último teorema de Fermat. Apesar do enunciado simples, que qualquer leigo pode compreender, sua demonstração demorou mais de 300 anos para ser concluída. Grandes matemáticos tentaram em vão resolvê-la e muita matemática nova precisou ser desenvolvida para se chegar à prova definitiva. Neste trabalho, demonstramos os casos particulares do último teorema de Fermat para n = 3 e n = 4. Para isso, estudamos tópicos da Teoria de Anéis, com ênfase nos anéis quadráticos euclidianos. O algoritmo de divisão de Euclides é uma das ferramentas mais importantes do conjunto dos números inteiros e é válido em outros anéis, chamados anéis euclidianos. Estudamos dois exemplos de anéis principais não euclidianos e, com isto, mostramos que todo número inteiro é soma de quatro quadrados. Para essa demonstração utilizamos propriedades do anel dos inteiros de Gauss, que é um anel euclidiano complexo, e do anel dos quatérnios inteiros de Hurwitz, que é um subanel do anel dos quatérnios. Os quatérnios, criados em 1843, por W.R.Hamilton, podem ser vistos como uma extensão da álgebra dos números complexos, na qual se tem três componentes imaginários ao invés de uma.Estabelecidas as propriedades e operações elementares, a álgebra dos quatérnios é uma álgebra de dimensão quatro sobre o corpo dos números reais que possui todas as propriedades de um corpo, exceto a comutatividade da multiplicação. Esta foi a primeira álgebra não-comutativa da história. Por fim estudamos os triângulos retângulos com lados inteiros, apresentamos dois teoremas que dão condições necessárias e suficientes para que um terno (x,y,z) seja um terno pitagórico. Utilizando esses dois resultados mostramos que se x for maior ou igual a 3 existe pelo menos um triângulo com cateto x, mostramos como encontrar todos esses triângulos retângulos em função da decomposição de x e que existe um triângulo retângulo com hipotenusa z se, e somente se, z é divisível por um número primo que deixa resto 1 quando dividido por 4. De posse dessa teoria, provamos o Teorema de Fermat: para n=3, usando um anel quadrático Z[w], com w uma raiz cúbica da unidade e, para n=4, utilizamos a solução geral dos ternos pitagóricos. A metodologia usada no trabalho foi a do estudo dos temas nos textos bibliográficos, encontros semanais com a orientadora para apresentar alguns tópicos e sanar as dúvidas. Esse estudo enriqueceu muito a formação na área de álgebra, cumprindo os objetivos estabelecidos no projeto. |
| Palavras-chave | Último teorema de Fermat, anéis quadráticos, anel dos quatérnios |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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