“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16773
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Álgebra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Joice Graziele Martins da Silva |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Números naturais em topos |
| Resumo | Os números são de suma importância para a matemática, desde suas origens até os dias atuais, algumas das comparações que o homem formula estão ligadas conscientes ou não, às noções aritméticas. A princípio pela necessidade de contagens de coleções, como por exemplo dos animais de criação, e até mesmo conceito de acréscimos. Em 1889, Guiseppe Peano apresentou em Arithmetica Principia Nova Methodo Exposita pela primeira vez, uma construção axiomática dos números naturais. Uma das primeiras consequências destes axiomas é a infinitude do conjunto dos números naturais, o que significa, de antemão, assumir a existência de um conjunto infinito. A existência de tal conjunto é um dos axiomas na construção formal de Zermelo-Fraenkel da teoria de conjuntos, que revela-se equivalente a existência de números naturais. Na década de 1940, Eilemberg e Mac Lane introduzem a teoria de categorias no contexto da topologia algébrica. Diferente da teoria de conjuntos, onde os conceitos são definidos sobre elementos dentro de um conjunto, a teoria de categorias trata de morfismos, ou seja, as relações entre os objetos definem suas propriedades. Desde sua introdução, a teoria de categorias rapidamente foi incorporada em várias outras áreas da matemática, demonstrando sua força de concisão. Na década de 1960, Grothendieck generaliza o conceito de espaços topológicos para uma linguagem categórica, introduzindo o Topos de Grothendieck. Tal generalização levou, por exemplo, a resolução das conjecturas de Weil, revelando sua potência. No mesmo período, de forma independente, Lawvere, em colaboração com Tierney, introduz o conceito de Topos Elementar, no contexto da lógica, de certa forma generalizando topos de Grothendieck. Nos dias atuais, alguns trabalhos tem sido feitos visando uma unificação da matemática pela teoria de topos. Atingida tal generalização, surge a questão de obter uma caracterização da teoria de conjuntos dentro da teoria de topos. Lawvere introduz o conceito de número natural em um topos, reproduzindo os axiomas de Peano em linguagem categórica. A categoria de conjuntos fica então caracterizada como um topos com o axioma da escolha e um objeto número natural. Dito isso, estudamos a construção dos números naturais no ambiente mais geral de um topos, juntamente com suas propriedades aritméticas. E por fim, abordamos a questão da infinitude, ou seja, que tipos de infinitos obtemos num topos com objeto número natural. |
| Palavras-chave | Teoria de topos, objetos números naturais, categorias. |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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