“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16588
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Álgebra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Maxiel Alves de Oliveira |
| Orientador | EDSON JOSE TEIXEIRA |
| Título | Identificação de superfícies quádricas |
| Resumo | Uma superfície quádrica é uma superfície cujos pontos podem ser descritos por meio de uma equação quadrática nas variáveis x, y e z, cujos coeficientes são reais e os coeficientes dos quadrados de x, y e z não são todos nulos. Os coeficientes dos termos mistos estão associados a uma rotação, enquanto os coeficientes dos termos de primeiro grau estão associados a uma translação da quádrica. Caso algum destes coeficientes seja não nulo, a quádrica está rotacionada e/ou transladada e sua identificação, em geral, não é imediata. O trabalho consiste em identificar superfícies quádricas, utilizando ferramentas tanto de Álgebra Linear, quanto de Geometria Analítica. Além disso, foi feita a implementação computacional da identificação de uma quádrica, por meio de sua equação na forma geral, utilizando o software livre Maxima. Para isso, foram estudados os conteúdos propostos pelo orientador durante as reuniões semanais. Em seguida, a implementação computacional teve início, sendo acompanhada pelo orientador nas reuniões. A identificação utilizando Geometria Analítica divide as quádricas em dois grupos: as centrais e as não-centrais. Caso o sistema de translação seja possível e determinado, a quádrica é central; caso contrário, a quádrica é não-central. Em uma quádrica central, realizamos primeiro a translação e em seguida a rotação. Já para uma quádrica não-central, a ordem é invertida, sendo a translação realizada por último. A rotação na Geometria Analítica é realizada por meio das equações de rotação, indo para uma nova base ortonormal, que possui em cada coordenada uma direção principal associada a uma raíz da equação característica. A identificação utilizando Álgebra Linear é um pouco diferente, sempre realizando primeiramente a rotação. Inicialmente a equação da quádrica é escrita na forma matricial. As quádricas são separadas em quatro casos, a depender de quantos dos três autovalores associados à quádrica são nulos. A rotação na Álgebra Linear é realizada por meio de uma diagonalização, ou seja, fazendo as mudanças de variáveis que eliminam os termos mistos. Na diagonalização, utilizamos uma matriz ortogonal P, que possui em cada coluna um autovetor, relacionado a um dos autovalores associados à quadrica. A translação é realizada por meio do completamento de quadrados em todos os casos. Ao final das translações e rotações, a quádrica está reduzida a sua forma mais simples e pode ser facilmente identificada. O algoritmo para a automatização da identificação, escrito em Maxima, foi baseado no método da Álgebra Linear. |
| Palavras-chave | Quádricas, classificação, software maxima |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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