“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16319
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Análise |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Giovana Sgamatti Ribeiro |
| Orientador | LUCIANA MARIA MENDONCA BRAGANCA |
| Título | Integral de Lebesgue: uma breve introdução |
| Resumo | No século XIX, os matemáticos concentraram seus esforços para tornar a Matemática mais rigorosa, um exemplo bem-sucedido disso foi a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann. Apesar da integral de Riemann ser amplamente usada em diversas áreas das ciências exatas como na Física e na Engenharia, algumas funções usadas na resolução de equações diferenciais parciais não são integráveis à Riemann. Nesse sentido, surgiu a necessidade de desenvolver um novo modelo de integração que generalizasse a integral de Riemann no qual uma gama maior de funções pudessem ser integráveis - principalmente aquelas que não são integráveis à Riemann, como a função de Dirichlet. Além disso, nesse novo modelo é possível provar alguns resultados importantes que não são possíveis na análise real, como o Teorema da Convergência Monótona. O objetivo deste trabalho é apresentar este modelo de integração que foi denominado integral de Lebesgue em homenagem ao matemático Henri Lebesgue; para tanto é necessário fazer uma breve explicação sobre a teoria de medida, introduzida também por ele. Para o desenvolvimento deste trabalho a metodologia utilizada foi o estudo das referências juntamente com reuniões semanais nas quais o conteúdo foi apresentado e discutido com a orientadora. Neste trabalho será abordado de forma sucinta os seguintes tópicos da teoria de medida: caracterização de funções mensuráveis (parte positiva e parte negativa), função característica, definição de medida nos números reais extendidos, medidas finitas, espaços de medidas e algumas propriedades importantes que serão usadas posteriormente. Em seguida, será definida a integral para funções simples mensuráveis não-negativas arbitrárias nos números reais extendidos e então será provado o Teorema da Convergência Monótona, o Lema de Fatou e algumas consequências desses resultados. Mais adiante, será visto a definição de funções integráveis na qual as funções são mensuráveis não-negativas e a definição de integral de Lebesgue com respeito a uma medida µ. Será mostrado ainda propriedades básicas da integral como soma, produto por um escalar real e algumas desigualdades envolvendo integrais que serão usados para mostrar o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, segmento central desta teoria. Por fim, a integral de Lebesgue será exemplificada por meio da função de Dirichlet em um comparativo à integral de Riemann. |
| Palavras-chave | Integral de Lebesgue, medida, funções mensuráveis |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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