“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16303
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Análise |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Ana Paula Morito Neves |
| Orientador | EDSON JOSE TEIXEIRA |
| Título | Integral de Lebesgue e aplicações |
| Resumo | A Teoria da Medida é um ramo da matemática que teve como principais desenvolvedores três matemáticos, a saber, Émile Borel, Henri Lebesgue e Constantin Carathéodory. A Teoria da Medida consiste basicamente em associar um número real não negativo a cada conjunto, de uma determinada família de subconjuntos, de um determinado espaço, e definir uma teoria de integração para funções que assumem valores neste respectivo espaço. A Teoria da Medida é uma ferramenta essencial no estudo de Equações Diferenciais Parciais, que constituem uma ferramenta importante no estudo de problemas naturais, como problemas físicos, químicos, ecológicos, econômicos, biológicos, etc. Além disso, a Teoria da Medida também é muito aplicada em estatística, mais especificamente, em probabilidade. Existem diversas medidas, como por exemplo, medida de contagem, medida de Lebesgue, de Hausdorff, etc. Um dos objetivos deste trabalho é estudar a Medida de Lebesgue no espaço Euclidiano de dimensão n, que generaliza o conceito de medida que conhecemos, ou seja, uma medida que é definida a uma determinada classe de conjuntos, que chamaremos de conjuntos Lebesgue mensuráveis, que restrita a intervalos da reta corresponde ao comprimento desse intervalo e restrita a retângulos do plano corresponde à área desse retângulo. Além disso, com o estudo da Integral de Lebesgue, será possível compará-la com a Integral de Riemann. A estudante faz os estudos preliminares dos tópicos propostos pelo orientador e por meio de reuniões semanais, virtuais ou presenciais, apresenta os progressos obtidos durante a semana e eventuais dúvidas são discutidas com o professor orientador. O trabalho inicia-se com o estudo de Medida de Lebesgue, definida via medida exterior. Os principais resultados sobre esta teoria são explorados de maneira bastante detalhada. A partir daí, é possível definir funções mensuráveis a Lebesgue e posteriormente definir a Integral de Lebesgue e seus principais resultados, como por exemplo, o Lema de Fatou, o Teorema da Convergência Dominada, a Derivação sob o sinal de integração, etc. É feita uma comparação entre a Integral de Lebesgue e a Integral de Riemann, em que fica claro o fato de que a Integral de Lebesgue generaliza a Integral de Riemann, no caso de integrais de funções definidas em intervalos compactos. Por fim, são apresentadas duas aplicações do uso das técnicas estudadas até então, que consistem nas soluções da Equação do Calor e da Equação de Laplace. Também como aplicações, estudamos os espaços Lp, desigualdades e resultados sobre convergência de sequências de funções nestes espaços. Assim, os principais resultados da Teoria de Medida foram explorados e compreendidos de maneira satisfatória, propiciando um aprendizado de um tópico importante da Matemática que geralmente não é abordado em cursos de Licenciatura em Matemática. |
| Palavras-chave | Medida exterior, Medida de Lebesgue, Integral de Lebesgue |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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