“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16276
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Análise |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Primeiro autor | Paula Cupertino Costa Ribeiro |
| Orientador | LAIS MOREIRA DOS SANTOS |
| Título | Grau topológico de Leray-Schauder |
| Resumo | Modelos matemáticos para um grande número de problemas na ciência podem ser reduzidos ao desafio de encontrar soluções para equações da forma F(x) = p. Em particular, equações diferenciais, equações integrais e equações integro-diferenciais podem ser formuladas desta maneira em espaços de dimensão infinita. Em um projeto anterior a este, discutimos sobre a teoria do grau de Brouwer, que é aplicável no estudo de equações da forma F(x) = p, em que F é um operador definido em um espaço de dimensão finita . Nesse sentido, é natural buscarmos por uma extensão do grau topológico para espaços de dimensão infinita. Entretanto, em espaços de dimensão infinita, conjuntos limitados não são relativamente compactos. Como consequência desse fato, não é possível definir grau para operadores simplesmente contínuos. Este fato levou Jean Leray e Juliusz Schauder a mostrar, em 1934, que existe uma versão similar da teoria do grau em dimensão finita (Grau de Brouwer) para espaços de dimensão infinita. No estudo de equações diferenciais parciais e ordinárias, por exemplo, a teoria do grau de Leray-Schauder é uma importante ferramenta para se estabelecer resultados de existência de soluções e existência de continuum de soluções para problemas de autovalor. O objetivo deste pôster é apresentar o grau topológico de Leray-Schauder e exibir algumas de suas propriedades, dentre as quais destaco a propriedade de existência de solução, que relaciona o grau de uma aplicação F com a existência de soluções para a equação F(x) = p, e a invariância homotópica, uma ferramenta que nos permite tirar conclusões sobre o grau de uma determinada função a partir do grau de funções mais simples que possam ser deformadas continuamente na primeira. Por fim, exploraremos aplicações do grau topológico. Dentre essas aplicações, discutiremos o Teorema do Ponto Fixo de Schauder e veremos como esse resultado nos auxilia a estabelecer resultados de existência de soluções para equações diferenciais ordinárias. A metodologia utilizada no desenvolvimento deste trabalho consistiu no estudo de livros e artigos relacionados ao tema proposto pela orientadora. Foram dedicadas 16 horas semanais para desenvolver estudo orientado dos tópicos propostos, sendo que 2 dessas horas foram usadas para discussões com a orientadora a fim de sanar dúvidas. Com este projeto, tive a oportunidade de desenvolver e aprofundar meu conhecimento em Análise Funcional, Topologia e Equações Diferenciais, ao mesmo tempo em que fui introduzida na pesquisa científica em Matemática. Além disso, conhecendo melhor esses temas, pude desenvolver meu espírito crítico e interesse em seguir me preparando para a pesquisa. |
| Palavras-chave | Grau de Leray-Schauder, Teorema de ponto fixo, Equações diferenciais |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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