“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16200
| ISSN | 2237-9045 |
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| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Álgebra |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - Campus Florestal |
| Bolsa | FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Vitória Augusta Dutra de Castro Soares |
| Orientador | LUIS FELIPE GONCALVES FONSECA |
| Título | Uma introdução à PI-teoria |
| Resumo | A teoria das identidades polinomiais, PI-teoria, é uma área da álgebra de grande importância matemática, que vem se desenvolvendo a partir da metade do século anterior. Sejam F um corpo, X = {x_1, ..., x_n, ...} um conjunto enumerável de variáveis e F⟨X⟩ a álgebra associativa, não comutativa, de polinômios. Definimos um polinômio multilinear de grau n, nas variáveis x_1, ..., x_n como um polinômio em que cada um dos seus monômios têm grau n, e, cada variável x_i, com i = 1, ..., n aparece uma única vez em cada monômio; ademais, denotaremos por P_n o espaço dos polinômios multilineares de grau n, nas variáveis x_1, ..., x_n. Considere A uma álgebra sobre o corpo F, esta álgebra será uma PI-Álgebra quando existe um polinômio não nulo, f(x_1, ..., x_n) ∈ F⟨X⟩, tal que f(a_1, ..., a_n) = 0 para quaisquer a_1, ..., a_n ∈ A. São exemplos de PI-Álgebras: qualquer álgebra comutativa; F, que satisfaz o polinômio f(x_1, x_2)=x_1_x2 − x_2_x1; a álgebra de matrizes triangulares 2 x 2 sobre F , que satisfaz a identidade f(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_1x_2 − x_2x_1)(x_3x_4 − x_4x_3); por fim, a álgebra de Grassmann de dimensão infinita e unitária E sobre F que satisfaz a identidade polinomial (x_1x_2 − x_2x_1)x_3 − x_3(x_1x_2 − x_2x_1). Os estudos sobre álgebras com identidades polinomiais, mais conhecidas como PI-Álgebras, ganharam destaque a partir de 1945 com os trabalhos dos matemáticos N. Jacobson e I. Kaplansky, que tratavam da estrutura de anéis (ou álgebras) com identidades polinomiais, e, principalmente, com a publicação do Teorema de Amitsur-Levitzki que afirma que o polinômio standard de grau 2n é uma identidade polinomial para a álgebra de matrizes de ordem n. Denotaremos por Id(A) o conjunto das identidades polinomiais da álgebra A, além disso, esse conjunto é um ideal bilateral de F⟨X⟩, como também é fechado sob ação de endomorfismo, o qual chamamos de T-ideais. Mas, a descrição do T -ideal de uma álgebra é, em geral, um problema difícil. Então, na tentativa de minimizar essa dificuldade, Amitai Regev (1972) começou a estudar os conceitos de codimensão, denotada por {c_n(A)}_n≤1, e, a n-ésima codimensão de A é definida como sendo a dimensão do espaço vetorial P_n(A) = P_n/P_n ∩ Id(A). |
| Palavras-chave | Álgebras, PI-álgebra, codimensão. |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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