Das Montanhas de Minas ao Oceano: Os Caminhos da Ciência para um Futuro Sustentável
20 a 25 de outubro de 2025
Trabalho 22251
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Dimensões Econômicas: ODS9 |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Mateus Henrique dos Anjos Oliveira |
| Orientador | ADY CAMBRAIA JUNIOR |
| Outros membros | Mostafa Salarinoghabi |
| Título | Análise de Singularidades de Curvas no Plano R2 Aplicadas à Robótica |
| Resumo | Introdução A configuração de um robô (posição e orientação) pode ser descrita por elementos do grupo SE(3), que representa transformações rígidas no espaço tridimensional. Um elemento de SE(3) combina rotação e translação em uma matriz homogênea. SE(3) é um grupo de Lie, ou seja, é uma variedade diferenciável com estrutura de grupo. Como é localmente semelhante a ℝ⁶, permite o uso de ferramentas da geometria diferencial. O espaço de juntas (joint space) representa as possíveis configurações do robô, e o espaço de trabalho (workspace), as posições do atuador final. Singularidades ocorrem quando o robô perde graus de liberdade, ou seja, quando a matriz Jacobiana perde posto. Isso torna certos movimentos inalcançáveis. O Jacobiano é essencial para o estudo da mobilidade e controle em sistemas robóticos. Conceitos Preliminares Na geometria diferencial, cada par cinemático inferior corresponde a uma superfície em ℝ³, invariante sob um subgrupo do grupo SE(3), que define os movimentos permitidos de cada junta. A composição dessas ações pode gerar uma Jacobiana com perda de posto, levando a uma configuração singular. No mecanismo planar de quatro barras (com um grau de liberdade), o espaço de configurações (C-space) forma uma curva que pode ter laços ou auto-interseções. Três bifurcações de codimensão 1 podem aparecer localmente: cúspides, tacnodos e pontos triplos. Em casos genéricos, apenas cúspides e tacnodos ocorrem. As cúspides indicam mudanças abruptas e os tacnodos, contatos tangenciais. Resultados Principais Considere um robô planar com dois graus de liberdade, com ângulos articulares (θ₁, θ₂). A posição do atuador final é dada por: x(θ₁, θ₂) = ℓ₁·cos(θ₁) + ℓ₂·cos(θ₁ + θ₂) y(θ₁, θ₂) = ℓ₁·sin(θ₁) + ℓ₂·sin(θ₁ + θ₂) As singularidades ocorrem quando θ₂ = 0 ou θ₂ = π. O conjunto singular da aplicação Φ : ℝ² → ℝ² (θ₁, θ₂) ↦ (x(θ₁, θ₂), y(θ₁, θ₂)) é Σ(Φ) = { (θ₁, 0); 0 < θ₁ < 2π } ∪ { (θ₁, π); 0 < θ₁ < 2π }. Suponha um obstáculo γ(s) = (f(s), g(s)), com f(s) ≠ 0 e que não passa pela origem. O perfil Φ(Σ(Φ)) possui dois componentes. Se ℓ₁ ≠ ℓ₂, surgem singularidades mais degeneradas que uma cúspide comum. Se ℓ₁ = ℓ₂, há apenas um componente. Para θ₂ = π, não ocorre colisão. |
| Palavras-chave | Robótica, Singularidades, Cinemática |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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