Das Montanhas de Minas ao Oceano: Os Caminhos da Ciência para um Futuro Sustentável
20 a 25 de outubro de 2025
Trabalho 20329
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Dimensões Sociais: ODS4 |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Deivid Toledo da Cruz |
| Orientador | ALLAN DE OLIVEIRA MOURA |
| Título | Posets Hierárquicos Aplicados à Teoria de Códigos |
| Resumo | Uma relação de ordem parcial é um tipo especial de relação que pode ser estabelecida entre os elementos de um conjunto, desde que ela satisfaça três condições fundamentais: cada elemento deve estar relacionado a si mesmo (essa é a propriedade chamada reflexividade), se dois elementos estão relacionados entre si em ambas as direções, então eles devem ser iguais (essa é a antissimetria), e se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo a um terceiro, então o primeiro também deve estar relacionado ao terceiro (essa é a transitividade). Quando um conjunto vem acompanhado de uma relação como essa, chamamos o conjunto de parcialmente ordenado, ou simplesmente “poset”. Esses conjuntos são amplamente estudados na matemática e têm aplicações importantes, por exemplo, na teoria de códigos, onde aparecem como ferramentas para definir diferentes formas de medir a distância entre vetores em um espaço finito. Tais medidas de distância, conhecidas como métricas, devem levar em conta a estrutura dos vetores e atribuir valores inteiros de maneira coerente com a posição de seus elementos. Um caso particular bastante estudado é o dos posets chamados hierárquicos. Nesse tipo de estrutura, os elementos do conjunto são agrupados em partes que seguem uma ordem fixa, como se fossem níveis ou camadas. A relação de ordem entre dois elementos é definida com base nos grupos a que eles pertencem, um elemento de um grupo anterior é considerado “menor” que qualquer elemento de um grupo posterior. O interessante sobre esses posets hierárquicos é que, quando usados para definir métricas, eles preservam muitas das propriedades conhecidas da métrica de Hamming, que é uma das mais tradicionais na teoria de códigos. Por exemplo, no caso da métrica de Hamming, a distância mínima entre os elementos de um código é usada para determinar quantos erros podem ser corrigidos. Isso também vale para os posets hierárquicos, mas não se aplica de forma geral a todos os posets. Por isso, dizemos que a busca por maximizar a distância mínima de um código continua sendo válida somente quando lidamos com posets hierárquicos. Vale destacar que existem muitos desses posets hierárquicos, o número de possibilidades cresce rapidamente à medida que aumenta o tamanho do conjunto. E, embora existam outros tipos de posets, apenas os hierárquicos são atualmente bem compreendidos, a ponto de serem comparáveis à métrica de Hamming em termos de clareza e domínio teórico. Neste estudo, o foco foi explicar com cuidado essa classe de posets, apresentando a estrutura das matrizes que geram os códigos, os principais parâmetros envolvidos e as condições que caracterizam um código perfeito. Além disso, foram discutidas propriedades exclusivas dos códigos construídos com base em posets hierárquicos, e como a forma de decompor esses códigos pode ser usada para tornar o processo de decodificação mais simples e eficiente. |
| Palavras-chave | Posets hierárquicos, teoria de códigos, métrica. |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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