“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 17099
| ISSN | 2237-9045 |
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| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Geometria e Topologia |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Júlio Gama Ramalho de Oliveira |
| Orientador | ADY CAMBRAIA JUNIOR |
| Título | Curvas no Plano Hiperbólico |
| Resumo | O conhecimento das geometrias não-euclidianas é de suma importância para o desenvolvimento da geometria. Nesse sentido, estudos acerca das Curvas Hiperbólicas são de grande valor para, por exemplo, o futuro da Geometria Descritiva, tendo ainda fortes aplicações na física relativística, o que pode trazer novas fontes de conhecimento para muitas outras ciências. Por tais motivações, o objetivo deste trabalho foi estudar e se aprofundar em uma das geometrias não-euclidianas, a saber, a geometria hiperbólica plana. Para tanto, neste projeto analisamos dois modelos da geometria hiperbólica plana: o modelo do semiplano superior e o modelo do disco de Poincaré, com ênfase no primeiro. Mais precisamente, a fim de melhor entender esta geometria, estudamos primeiramente a métrica de tais modelos, permitindo o cálculo, por exemplo, do comprimento das curvas hiperbólicas. A partir daí, examinamos as geodésicas e os principais resultados envolvendo estas curvas. Além disso, estudamos um grupo importante de difeomorfismos do semiplano, a saber, as isometrias e provamos por exemplo, que assim como no caso euclidiano, qualquer isometria positiva pode ser escrita como a composição de no máximo três inversões (reflexões). Verificamos ainda que através de uma certa isometria é possível levar cada ponto do semiplano superior em um ponto no disco de Poincaré. Finalmente, estudamos as curvas e curvatura no plano hiperbólico e apresentamos o teorema de classificação das curvas com curvatura hiperbólica constante. Nesse contexto, algumas curvas especiais aparecem, tais como, as geodésicas, as curvas equidistantes, os horociclos, os círculos hiperbólicos, dentre outras. Além destas curvas, também estudamos as evolutas hiperbólicas e os evolutóides hiperbólicos, bem como suas principais propriedades. Concluímos que o desenvolvimento deste trabalho permitiu ao estudante adentrar em áreas da Matemática que têm produzido pesquisas de alto impacto, além disso, no decorrer do projeto o estudante teve que se familiarizar com softwares computacionais como látex, maple e geogebra. |
| Palavras-chave | Geometria hiperbólica, curvas hiperbólicas, isometrias |
| Forma de apresentação..... | Vídeo |
| Link para apresentação | Vídeo |
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