“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16787
| ISSN | 2237-9045 |
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| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Ensino médio |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática Aplicada |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas - Campus Florestal |
| Bolsa | PIBIC Ensino Médio |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Alexandre Melo da Mata Júnior |
| Orientador | SERGIO HENRIQUE NOGUEIRA |
| Título | Geometria euclidiana e o postulado das paralelas |
| Resumo | A Geometria Euclidiana é resultado de um sistema dedutivo de postulados estabelecidos pelo matemático do século III a.C. Euclides de Alexandria em sua obra Os elementos, de grande influência desde a sua publicação até a atualidade. No estudo desses postulados, um deles merece destaque especial, que é o chamado V postulado, que pode ser enunciado da seguinte forma: Dada uma reta e um ponto fora dela, existe uma única reta paralela à reta dada. Diversos matemáticos tentaram provar que esse resultado não precisava ser um postulado, isto é, que ele era um teorema do sistema. Nosso trabalho tem como objetivo estudar os aspectos históricos do desenvolvimento da geometria Euclidiana e em especial o quinto postulado de Euclides. A metodologia aplicada nesse projeto foi a metodologia própria da pesquisa matemática consistindo primeiramente em um estudo da teoria básica e depois o estudo de conceitos mais específicos do tema. Dentre os diversos matemáticos que tentaram provar o quinto postulado, trabalhamos com uma das tentativas do matemático Adrien-Marie Legendre dos séculos XVIII e XIX que, mesmo não conseguindo provar, acabou trazendo uma grande contribuição no desenvolvimento de ideias no campo da geometria. Legendre tentou demonstrar o V postulado através de uma equivalência, enunciando que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo seria sempre 180°. Assim, para provar o postulado das paralelas, bastaria provar esse enunciado que implicaria também no V postulado. Sem o postulado das paralelas, Legendre provou que a soma dos ângulos de qualquer triângulo será sempre menor ou igual a 180°. No entanto, para concluir que a soma dos ângulos internos é 180°, Legendre precisava provar então que essa soma não poderia ser menor que 180°. Assim sua falha residiu ao provar que a afirmação da soma ser menor que 180° seria errada, pois, nessa etapa, Legendre cometeu um erro tautológico afirmando o próprio postulado em sua "demonstração". Apenas no século XIX que uma nova ideia que daria margem às geometrias não-euclidianas surgiu em mais de uma mente ao mesmo tempo. Friedrich Gauss, Nicolai Lobachevsky e Janos Bolyai concluiram em tempos muito próximos que o V postulado não somente não poderia ser provado, como também poderia ser negado sem que contradições com os outros postulados ocorressem. Desse modo, a partir da afirmação de que dado um ponto fora de uma reta existem ao menos duas retas paralelas à reta dada, Janos Bolyai e Nicolai Lobachevsky deram início a chamada geometria hiperbólica. Anos depois, o matemático alemão Georg Fridriech Benhart Riemann trabalhou com uma outra negação ao Postulado das Paralelas, a qual por um ponto fora de uma reta não existe nenhuma reta paralela à reta dada. Assim se originando a chamada geometria elíptica. Nesse trabalho conseguimos compreender melhor a geometria euclidiana bem como a substituição do postulado das paralelas por uma outra afirmação que pode levar à definição de outras geometrias. |
| Palavras-chave | Geometria, postulado das paralelas, geometrias não-euclidianas |
| Forma de apresentação..... | Painel |
| Link para apresentação | Painel |
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