“Bicentenário da Independência: 200 anos de ciência, tecnologia e inovação no Brasil e 96 anos de contribuição da UFV”.
8 a 10 de novembro de 2022
Trabalho 16515
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Geometria e Topologia |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Primeiro autor | Ellen Peixoto de Oliveira |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | O Genus de uma Curva Projetiva Complexa Suave |
| Resumo | A topologia algébrica é o ramo da matemática que relaciona as áreas de álgebra e topologia. O objetivo é introduzir ferramentas algébricas (respectivamente topológicas) em problemas topológicos (respectivamente algébricos) com o intuito de resolver questões às quais estas áreas separadamente não são capazes ou obter alguns resultados de maneira mais simples. Uma importante e surpreendente conexão entre estas áreas é a similaridade entre as propriedades do grupo fundamental de um espaço topológico e do grupo de Galois de uma extensão de corpos. Essas similaridades são casos particulares de uma teoria unificada mais geral, do grupo fundamental Étale, que se realiza na categoria das curvas algébricas complexas. O caminho para o entendimento desta unificação passa pela bonita relação entre o grau de um polinômio homogêneo, que define uma curva algébrica complexa, e o genus da superfície de Riemann compacta homeomorfa a esta curva. Uma demonstração intuitiva desta relação é o objetivo deste trabalho. Definimos o plano projetivo complexo via identificação de pontos linearmente dependentes no espaço C³-{0}. Mostramos que tal espaço é Hausdorff e compacto na topologia quociente. Uma curva projetiva complexa é definida como os zeros de um polinômio homogêneo em três variáveis com coeficientes complexos e o grau deste polinômio define o grau da respectiva curva. Em termos topológicos, o plano projetivo, plano complexo com a adição de um ponto no infinito (compactação de Alexandroff), é homeomorfo a uma esfera. Tal condição permite classificar topologicamente uma curva projetiva suave, isto é, sem pontos singulares, como uma superfície de Riemann compacta. Por outro lado, na topologia algébrica, as superfícies de Riemann compactas orientadas são classificadas como uma esfera de n-laços, com n um número natural. O número de laços é chamado de genus da superfície. O resultado deste projeto fornece um expressão bastante simples que relaciona o genus da superfície de Riemann compacta suave orientada homeomorfa a uma curva projetiva, um invariante topológico, com o grau do polinômio que define a curva. Apresentaremos uma prova intuitiva desta relação e alguns exemplos. Este primeiro resultado relacionando o genus, um conceito topológico, com o grau de um polinômio, um conceito algébrico, via a curva algébrica que os conecta é um passo no propósito de estudar a unificação da teoria de Galois com grupo fundamental na categoria de curvas algébricas, por meio do grupo fundamental Étale. A metodologia empregada neste trabalho foi a leitura de livros, artigos científicos e encontros semanais para discussão de temas estudados. |
| Palavras-chave | Curvas algébricas complexas, plano projetivo complexo, relação grau-genus |
| Forma de apresentação..... | Vídeo |
| Link para apresentação | Vídeo |
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