Bioeconomia: Diversidade e Riqueza para o Desenvolvimento Sustentável
21 a 25 de outubro de 2019
Trabalho 11935
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Ciências Exatas e da Terra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Jhenipher Cleyton Fagner Teixeira |
| Orientador | ADY CAMBRAIA JUNIOR |
| Título | Introdução a variedade produto H^^2 x R |
| Resumo | As variedades completas simplesmente conexas de dimensão três mais simétricas são as formas espaciais, isto é, o espaço Euclidiano R3, o espaço hiperbólico H3 e a esfera unitária de dimensão três S3. Nos últimos anos tem crescido o interesse sobre o estudo da geometria das superfícies dentro de variedades menos simétricas que as formas espaciais. Em particular, nos últimos anos, tem crescido o interesse do estudo das superfícies com alguma propriedade geométrica prescrita nas variedades produto M2 x R, onde M2 é uma variedade Riemanniana bidimensional. O principal objetivo do projeto foi introduzir a variedade homogênea tridimensional H2 x R, onde H2 é um modelo do plano hiperbólico e R a reta real. Para tanto, se fez necessário conhecer a geometria dos objetos envolvidos. Inicialmente, dedicamos ao estudo da geometria hiperbólica plana, ou seja, de H2. Em H2, estudamos dois modelos, a saber: o modelo do semi-plano superior de Poincaré e o modelo do disco de Poincaré. Verificamos que existe um difeomorfismo (isometria) entre esses modelos. Logo, ao se estudar a geometria de H2 em um dos modelos, automaticamente se estuda no outro. No modelo do semi-plano superior, provamos que as únicas geodésicas são as semirretas verticais e os semicírculos ortogonais ao bordo assintótico, bem como apresentamos as principais propriedades das geodésicas. Além disso, provamos que as isometrias deste espaço, que são transformações de Moebius, podem ser classificadas como positivas e negativas. Apresentamos uma descrição das isometrias positivas e um resultado que diz que toda isometria de H2 é a composta de pelo menos três inversões. Após este estudo detalhado sobre H2, apresentamos efetivamente a variedade produto H2 x R. Para entender a geometria desta variedade, estudamos suas isometrias e geodésicas. Nesta apresentação, discorrerei sobre as geodésicas de H2 e sobre a descrição das isometrias positivas de H2, bem como definirei a variedade H2 x R, suas isometrias e geodésicas. Alguns resultados: Teorema: Se f pertence a Isom(H2), então f é a composta de pelo menos três inversões. Teorema: Um difeomorfismo f: H2 x R -> H2 x R dado por f(z,t)=(f_1,f_2) é uma isometria de H2 x R se, e somente se , f_1 é isometria de H2 e f_2 é isometria de R. Proposição: Dados q pertencente a H2 x R e v pertencente a T_q (H2 x R), existe uma única geodésica de H2 x R que passa por q com vetor tangente v. Este estudo foi fundamental para introduzir o estudante em uma linha de pesquisa que têm atraído geômetras de todo o mundo. |
| Palavras-chave | Variedades produto, isometria, geodésicas |
| Forma de apresentação..... | Oral |