Bioeconomia: Diversidade e Riqueza para o Desenvolvimento Sustentável
21 a 25 de outubro de 2019
Trabalho 11576
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Ciências Exatas e da Terra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Primeiro autor | Iago Greca Rossanes Fontes |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Simetrias planas e espaciais |
| Resumo | O estudo de simetrias é de suma importância tanto na matemática quanto nas ciências naturais. A atração por simetrias é bastante antiga, já presente na Roma antiga e na arquitetura Islâmica. Sua ideia é bem intuitiva. Por exemplo, o corpo humano, grosso modo, apresenta uma simetria entre o lado direito e o lado esquerdo. Na arte e na arquitetura simetrias e assimetrias são fundamentais. Em geral a natureza, em sua busca por minimalidade, apresenta simetrias sob vários aspectos. Na biologia, por exemplo, assimetrias revelam alguma vantagem evolutiva. Na matemática, as simetrias foram inicialmente definidas na geometria como invariantes de objetos geométricos. Posteriormente esse conceito foi generalizado e inserido em outras áreas como teoria de Galois, grupos de Lie, teoria de representações etc. Na física elas aparecem nas simetrias de partículas, simetrias do tempo, das forças fundamentais etc. Grupos de simetrias são a base de teorias físicas que vão desde física de partículas até cosmologia. Nas teorias físicas mais avançadas, como as teorias de calibre abelianas e não abelianas, o conceito de simetria ocupa lugar central. De um modo mais fundamental, a relação entre teorias matemáticas e físicas de simetrias estão relacionadas pelo teorema de Noether. Neste trabalho, ainda parcial pois em andamento, definimos uma simetria de uma figura X num espaço n-dimensional V como uma isometria T sobre V que preserva a figura X, ou seja, tal que T(X)=X. Nosso objetivo foi classificar os grupos finitos de simetrias no plano bidimensional e no espaço tridimensional. Os resultados obtidos foram os 3 teoremas seguintes: Teorema 1: O conjunto G de simetrias de uma figura X forma um grupo com a composição de funções. Teorema 2: Se G é um grupo finito de simetrias no plano então G é isomorfo a um grupo cíclico ou a um grupo diedral. O grupo cíclico é constituído de rotações e o grupo diedral contém rotações e reflexões. Teorema 3: Se G é um grupo finito de rotações no espaço tridimensional então G é isomorfo a um dos seguintes grupos: cíclico, diedral, grupo de rotações de um tetraedro, de um octaedro ou de um icosaedro. Numa análise prévia dos resultados, em que pese o aumento de uma dimensão na passagem do plano ao espaço significar um aumento considerável no grau de liberdade, a classificação dos grupos de rotações cresce pouco. Temos apenas a inclusão dos grupos de rotações de 3 poliedros regulares de Platão. O prosseguimento do trabalho inclui a classificação das simetrias no espaço, incluindo reflexões; o estudo de simetrias em espaços não euclidianos, que engloba o espaço-tempo quadridimensional relativístico de Minkowiski, descrito pelo grupo de Lorentz; e a introdução na teoria mais geral de grupos de Lie, dos quais todos os grupos acima são casos particulares. |
| Palavras-chave | Simetrias, Isometrias, Grupos |
| Forma de apresentação..... | Painel |