Ciência para a Redução das Desigualdades
15 a 20 de outubro de 2018
Trabalho 9940
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Ciências Exatas e da Terra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Neemias Silva Martins |
| Orientador | POUYA MEHDIPOUR BALAGAFSHEH |
| Título | Ergodicidade e Mixing em Sistemas Dinâmicos |
| Resumo | O matemático francês Henri Poincaré e o matemático americano George Birkhoff são considerados os primeiros criadores da teoria moderna dos Sistemas Dinâmicos. A Teoria Ergódica estuda o comportamento de um sistema dinâmico quando ele funciona por um longo tempo e aceita uma medida invariante. Os primeiros resultados nessa direção são: o Teorema Krylov-Bogolyubov (existência de medidas invariantes), o Teorema da Recorrência de Poincaré e o Teorema Ergódico de Birkhoff. Podemos considerá-los os teoremas fundamentais no estudo da Teoria Ergódica. Existe uma relação relevante entre ergodicidade e a propriedade de Mixing, que se associa com os Sistemas Dinâmicos Caóticos. Neste projeto, estudamos tal propriedade e a Ergodicidade de um sistema dinâmico. Neste trabalho apresentamos os três teoremas fundamentais no estudo da Teoria Ergódica. Antes disso, vamos precisar de algumas noções básicas em Teoria de medida: Uma sigma-algebra em um conjunto X é uma coleção A de subconjuntos de X que inclui o subconjunto vazio; é fechada sob complemento e é fechada sob uniões e interseções enumeráveis. O par (X,A) é chamado de espaço mensurável. Nestas condições, definimos uma medida m, que é uma função com valores no conjunto real estendido satisfazendo as propriedades de não negatividade, sigma-aditiva e medida nula para o conjunto vazio. Um terno (X,A,m) é chamado de espaço de medida. Uma medida de probabilidade é uma medida com a medida total um - isto é, m(X) = 1. Um espaço de probabilidade é um espaço de medida com uma medida de probabilidade. Seja (X,A) um espaço mensurável e seja T: X -> X uma função mensurável. Uma medida m em (X,A) é considerada invariante sob f se, para cada conjunto mensurável B contido em A tem-se m(T-1 (B)) = m(B) Dizemos que uma medida é ergódica se para cada E em A com T-1 (E) = E tem-se m(E) = 0 ou m(E) = 1. Teorema de Krylov-Bogolubov: Toda função contínua em um espaço métrico compacto admite medida Borel invariante de propabilidade. Teorema da Recorrência de Poincaré: Seja f:X ->X uma transformação mensurável e seja m uma medida finita invariante por f. Seja E de medidia positiva contido em um conjunto mensurável . Então, para m-quase todo ponto x em E, existem infinitos valores de n para os quais fn(x) também está em E. Teorema Ergódico de Birkhoff: Seja T:X -> X uma transformação em um espaço mensusável (X,A) e m uma medida ergódica. Para quase todos os pontos x em X, o produto de 1/n pelo somatório que varia de 0 a n-1 de f(Tix) converge para a integral de f, quando n tende a infinito e f pertence ao espaço L1(X,A,m). |
| Palavras-chave | ergodicidade, mixing, |
| Forma de apresentação..... | Painel |