Ciência para a Redução das Desigualdades
15 a 20 de outubro de 2018
Trabalho 9764
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Ciências Exatas e da Terra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Vinicius Kobayashi Ramos |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Teoria de Galois para Espaços Topológicos |
| Resumo | Um dos mais belos resultados na área de Álgebra é o teorema da correspondência de Galois, que estabelece uma relação biunívoca entre subgrupos do grupo de simetrias de uma extensão de um corpo e os corpos intermediários desta extensão, fornecendo uma bonita conexão entre a teoria de grupos e a teoria de corpos. Dentre as várias aplicações deste resultado, ela responde se um polinômio possui ou não solução expressa por radicais ou se um polígono regular pode ser construido com régua e compasso. De forma surpreendente, existe uma estreita analogia entre esse teorema fundamental da teoria de Galois e a classificação de coberturas sobre um espaço topológico. De fato, nesta classificação obtemos também uma correspondência entre simetrias de coberturas e subgrupos do grupo fundamental de um espaço topológico. O estudo das similaridades e conexões entre estas duas teorias é o foco deste projeto. O grupo fundamental de um espaço topológico X, com base no ponto x de X, denotado pi(X,x) é dado por meio de classes de homotopia dos chamados "caminhos" sobre X. Essas classes são elementos do grupo e a operação do grupo induzida pela composição de caminhos. De outro lado uma cobertura de X é uma aplicação contínua tal que cada ponto p de X possui uma vizinhança Up que é coberta, a menos de homeomorfismo, por T cópias de Up, chamadas fibras do ponto p, onde T é um conjunto indexador. Uma cobertura p: X' -> X de X é dita universal quando X' é um espaço simplesmente conexo e para qualquer cobertura f: Y -> X de um espaço Y conexo, existe uma cobertura g: X' -> Y tal que gf=p. Uma conexão entre o grupo fundamental e as coberturas de espaços topológicos é a existência de uma correspondência bijetora entre o grupo fundamental pi(X,x) de um espaço topológico X com base no ponto x e as fibras dadas pelas imagens inversas de x por uma cobertura universal f: Y -> X de X. Se f: Y -> X é uma cobertura, então, um homeomorfismo h: Y -> Y é chamado uma transformação deck se hf=f. O conjunto de transformações deck de uma cobertura, com a composição de aplicações, forma um grupo denotado Aut(f). Localmente, transformações deck induzem uma permutação, ou seja, um automorfismo entre as fibras f^(-1)(x). Uma cobertura f:Y -> X é dita uma cobertura de Galois se Y é conexo e o grupo de transformações deck age transitivamente sobre as fibras f^(-1)(x). O resultado principal a ser estudado neste projeto é: Teorema Fundamental da Teoria de Galois para Espaços Topológicos: Seja p: (X',x') -> (X,x) uma cobertura universal de espaços topológicos. i) Existe um isomorfismo pi(X)-> Aut(p) ii) Existe uma bijeção entre as classes de conjugação de subgrupos de pi(X) e coberturas de X, tal que os subgrupos normais correspondem as coberturas de Galois. Os exemplos principais abordados são: a) O círculo S^(1), cujo grupo pi(S^(1)) são os inteiros. b) S^(2) X S^(3), cuja cobertura universal é o produto dos espaços projetivos RP^2 X RP^3 cujo grupo fundamental pi(RP^2 X RP^3) é o grupo de Klein. |
| Palavras-chave | Galois, Espaços, Topológicos |
| Forma de apresentação..... | Oral |