Ciência para a Redução das Desigualdades
15 a 20 de outubro de 2018
Trabalho 9745
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Ciências Exatas e da Terra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Primeiro autor | Kamila Fernanda Lobo Madalena |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Representações de Quivers |
| Resumo | Um quiver Q=(Q0,Q1) nada mais é que um grafo orientado, isto é, um conjunto finito de vértices Q0 conectados por um conjunto finito de setas orientadas Q1. O estudo de representações de quivers foi introduzido na década de 1960 no intuito de resolver problemas de classificação de subespaços vetoriais, ou melhor, de classificar as n-uplas de subespaços de um espaço vetorial. Estes problemas eram abordados por técnicas matriciais e tiveram um grande avanço com o advento de representações de quivers. Pouco tempo depois, representações de quivers foram aplicadas, também com grande sucesso, na teoria de representações de álgebras associativas de dimensão finita, ou seja, no estudo de seus módulos. Ainda hoje é uma das principais técnicas utilizadas nesta área da Matemática. Sua aplicação se expandiu e hoje vemos quivers e suas representações no estudo de álgebras de Lie, álgebras de KacMoody, grupos quânticos, grupos de Coxeter, teoria geométrica de invariantes, topologia algébrica, entre outras. Uma representação de um quiver Q numa categoria V é um funtor (covariante) F:Q->V. No caso mais simples, e por isso o mais usual, representam-se quivers na categoria V de espaços vetoriais de dimensão finita. A cada vértice associamos um espaço vetorial e a cada seta uma transformação linear. Este é o caso das representações utilizadas na teoria de representações de álgebras. Por um teorema de Gabriel, se A é uma álgebra associativa de dimensão finita então a categoria de A-módulos finitamente gerados é equivalente à categoria Rep(Q,V) de representações de um quiver Q na categoria de espaços vetoriais, o que possibilita o estudo de módulos sobre uma álgebra via representações de quivers. Este projeto tem como objetivo o estudo de representações de um quiver na categoria de espaços vetoriais de dimensão finita. O foco do trabalho será obter o teorema de classificação de representações do tipo finito, classificação esta feita por diagramas de Dynkin, e aprender as técnicas computacionais do pacote QPA. Tal teorema é dado por: Um quiver conexo é de representação do tipo finito se, e somente se, seu grafo não direcionado subjacente é um grafo Dynkin. Como metodologia segue a leitura de textos, livros e artigos, reunião semanais com o orientador para discussões e esclarecimento de dúvidas. Na conclusão deste trabalho determinamos os quiver cuja representação é do tipo finito. Estes quivers correspondem aos diagramas de Dynkin. Estes diagramas são parte de uma classificação mais geral de álgebras hereditárias mansas e selvagens. No caso finito, verificamos ainda que as representações indecomponíveis correspondem as raízes da forma quadrática dos quivers, o que possibilita uma forma alternativa de calcular tais representações. |
| Palavras-chave | representação, quiver, grafo |
| Forma de apresentação..... | Painel |