Ciência para a Redução das Desigualdades
15 a 20 de outubro de 2018
Trabalho 10129
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Ciências Exatas e da Terra |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Elen Michele Rodrigues |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Outros membros | Thainá Ferreira Silva |
| Título | Álgebras de Clifford e a Teoria da Relatividade Restrita |
| Resumo | Um dos principais fatores pelos quais as ciências naturais utilizam a Matemática como linguagem é o seu poder de síntese e precisão. Neste aspecto destaca-se a Física Teórica, talvez o principal campo de aplicação da Matemática. Até o final do século XIX, quando a mecânica Newtoniana e o eletromagnetismo de Maxwell eram as bases da Física Clássica, os conceitos de espaço e tempo eram independentes. As equações que traduziam as respectivas leis físicas nestes campos estavam restritas ao espaço euclidiano tridimensional, sendo o tempo uma variável a parte. Desta forma, os campos vetoriais gravitacional e elétrico podiam ser expressos em termos do que hoje se estuda nos cursos de geometria analítica básica e cálculo vetorial. Em 1843, com o objetivo de estender as propriedades geométricas dos complexos para dimensão três, onde os eventos físicos ainda eram considerados, Hamilton criou os quatérnios em dimensão quatro. De forma independente, com objetivo similar, em 1844 Grassmann formulou outra estrutura algébrica conhecida como álgebra de Grassmann (ou álgebra exterior) tratando vetores não como objetos, mas pelas relações que eles satisfazem, uma forma bem atual de construir álgebras a partir de geradores. Uma questão natural é a possibilidade de sintetizar estas duas estruturas, de Hamilton e Grassmann, em um único sistema, aplicado as geometrias em espaços arbitrários. Esta estrutura algébrica foi obtida por Clifford em 1878, hoje conhecida como álgebra de Clifford. Além de generalizar os quatérnios e o produto de Grassmann, as álgebras de Clifford resolvem diversas incoerências na álgebra vetorial de Gibbs. Atualmente álgebras de Clifford estão presentes em diversas teorias da Física Moderna, como na teoria supersimétrica da física de partículas, na mecânica quântica, na teoria da relatividade geral etc. Na Matemática, estão associados a teoria de Lie por meio dos grupos spin, que são grupos de Lie. Na física moderna, grandes simplificações podem ser obtidas no formalismo da relatividade restrita e, pelas matrizes de Pauli na mecânica quântica. O objetivo deste projeto é estudar as álgebras de Clifford do ponto de vista geométrico e a aplicação da sua teoria geométrica no estudo de conceitos básicos da teoria da relatividade restrita, tais como a estrutura pseudo-euclidiana do espaço-tempo, seus grupos de simetrias (grupos de Lorentz), cones de luz, trigonometria hiperbólica e os paradoxos daí advindos, como por exemplo o “paradoxo dos gêmeos”. Como metodologia, foram realizadas leituras de livros e textos científicos indicados pelo orientador; reuniões semanais para discussão dos temas estudados e apresentações em grupo. Como resultado, as álgebras de Clifford fornecem uma generalização do produto vetorial clássico, por meio do produto exterior, e permitem relacionar os produtos escalar e vetorial no produto de Clifford. Além disso, a álgebra de Clifford Cl3 pode ser vista como uma soma direta dos números complexos e dos quatérnios. |
| Palavras-chave | Àlgebra de Clifford, Teoria da Relatividade Restrita, Físico-matemática |
| Forma de apresentação..... | Oral |