Fome e Abundância: Um Paradoxo Brasileiro?
17 a 22 de outubro de 2016
Trabalho 6380
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Bruna Maria Frutuoso |
| Orientador | ABILIO LEMOS CARDOSO JUNIOR |
| Título | Estudo de alguns invariantes em Teoria Aditiva dos Números. |
| Resumo | Em 1961, no âmbito da aritmética modular, Paul Erdös numa parceria com Abraham Ginzburg e Abraham Ziv, demonstraram um simples mas importante teorema, o Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv, no qual qualquer sequência de comprimento 2n-1 de números inteiros possui uma subsequência de comprimento n cuja soma dos seus termos é congruente a zero módulo n. Com esse resultado, definimos o invariante s(Cn) como o menor inteiro positivo k tal que toda sequência de k elementos de um dado grupo cíclico finito Cn, possui uma subsequência de comprimento n cuja soma de seus elementos é o zero de Cn. Posteriormente, outros matemáticos mostraram interesse pela área, fazendo novas descobertas. Entre eles está Harold Davenport, que ao propor uma questão em uma conferência em 1966, introduziu a constante de Davenport D(Cn) que é definida como sendo o menor inteiro positivo k tal que toda sequência de k elementos de Cn possui uma subsequência cuja soma dos elementos é o zero de Cn. Observe que a diferença entre esses dois invariantes está na restrição quanto ao tamanho da subsequência que s(Cn) exige e D(Cn) não. No trabalho em questão, procuramos apresentar esses dois invariantes e estabelecer uma relação entre eles, mencionando os principais resultados. Depois de introduzir esses conceitos, apresentamos a seguinte generalização do que foi dito acima: Sejam G um grupo aditivo finito abeliano de expoente n, A ⊂ Z e 0 o zero de G. A constante DA(G) é definida como sendo o menor natural k tal que em toda sequência (x1,..., xk), xi ∈ G, i ∈ {1,2,...,k} exista uma subsequência não vazia (xy1,..., xyl) e (a1,..., al) ∈ Al tal que a1 xy1 + a2 xy2+ ...+ al xyl =0 Da mesma forma, a constante sA(G) é definida como sendo menor k natural tal que para toda sequência (x1,...,xk) , xi ∈ G, i ∈ {1,2,..., k}, existem j1,...,jn naturais, 1 ≤ j1 ≤...≤ jn ≤ t e (a1,...,an) ∈ An tais que a1 xy1 + a2 xy2+ ...+ an xyn =0 A é chamado conjunto-peso. Observe que as constantes definidas inicialmente são sA(G) e DA(G) quando A={1}. Como conclusão da apresentação, encontramos o valor exato para sA(G) quando A={±1} e G=Cn2 onde n é um natural ímpar. |
| Palavras-chave | Constante de Davenport, Constante de Erdös-Ginzburg-Ziv, Teorema de Chevalley-Warning |
| Forma de apresentação..... | Oral |