Fome e Abundância: Um Paradoxo Brasileiro?
17 a 22 de outubro de 2016
Trabalho 6278
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PROBIC/FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Ermelindo Paulino Lamas |
| Orientador | ALEXANDRE MIRANDA ALVES |
| Título | O Conjunto de Mandelbrot |
| Resumo | O conjunto de Mandelbrot foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre Fatou, um matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica analítica complexa. Fatou estudou processos recursivos como z->z^2+c Começando com um ponto qualquer z~0 no plano complexo, podem-se gerar pontos sucessivos aplicando-se repetidamente esta fórmula. A seqüência de pontos obtida é chamada órbita de z~~0 sob a transformação z->z^^^^2+c. Fatou percebeu que a órbita de z~~0 = 0 sob esta transformação forneceria alguma introspecção sobre o comportamento de tais sistemas. Existe um número infinito de tais funções - uma para cada valor de c. Fatou não teve acesso a um computador capaz de plotar as órbitas de todas essas funções, mas ele tentou fazer isso a mão. Ele provou que uma vez que um ponto atinge uma distância da origem maior que 2, a órbita explode para o infinito. Fatou nunca viu uma imagem, como estamos acostumados a ver, do que hoje chamamos de conjunto de Mandelbrot pois a quantidade de cálculos necessária para se gerarem tais imagens está além da capacidade de um ser humano executar a mão. O Professor Benoît Mandelbrot foi a primeira pessoa a utilizar um computador para plotar o conjunto. Os fractais foram popularizados por Mandelbrot em 1975 em seu livro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Neste livro, Mandelbrot usou o termo fractal para escrever um número de fenômenos matemáticos que pareciam exibir comportamento caótico ou surpreendente. Todos estes fenômenos envolviam a definição de alguma curva ou algum conjunto através do uso de algumas funções ou algoritmos recursivos. O conjunto de Mandelbrot é um desses fenômenos e leva o nome de seu descobridor. O conjunto de Mandelbrot foi criado por Benoît Mandelbrot como um índice ao conjunto de Julia: cada ponto no plano complexo corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos conjuntos de Julia conexos, e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia desconexos. Intuitivamente, os conjuntos de Julia "interessantes" correspondem aos pontos próximos à fronteira do conjunto de Mandelbrot; pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a formas geométricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram poeira rodeada por manchas de cores. Alguns programas, como o Fractint, permitem que o usuário escolha um ponto e veja o conjunto de Julia correspondente, tornando fácil a navegação. O conjunto de Mandelbrot também "contém" estruturas muito semelhantes aos conjuntos de Julia; de fato, para qualquer valor c, a região do conjunto de Mandelbrot ao redor de c lembra o centro do conjunto de Julia com parâmetro c. |
| Palavras-chave | Mandelbrot, dinamica complexa, fractais |
| Forma de apresentação..... | Painel, Oral |