Fome e Abundância: Um Paradoxo Brasileiro?
17 a 22 de outubro de 2016
Trabalho 6222
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Sabrina Ferreira Marciano Faria |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Álgebras Cluster e Grupos de Coxeter |
| Resumo | O estudo de Álgebras Cluster foi introduzido por Formin e Zelevinsky em 2002 com o objetivo de desenvolver uma técnica combinatória no estudo da positividade total em grupos algébricos e, por outro lado, em bases canônicas de grupos quânticos. Apesar destes objetivos iniciais ainda não terem sido alcançados, esta nova estrutura algébrica ocupa cada vez mais espaço no meio científico. Podemos dizer que as álgebras cluster são um tipo de sistema dinâmico discreto. Elas são subálgebras do corpo de frações dos anéis de polinômios de coeficientes racionais. Sua definição utiliza cálculos combinatórios e iterativos aplicados sobre um conjunto de variáveis polinomiais, chamado cluster, e sobre um grafo direcionado, chamado quiver. Um par formado por uma cluster e um quiver é chamado semente e cada passo combinatório no processo iterativo de mutação. Uma álgebra cluster é a álgebra gerada pelo conjunto de todas as variáveis cluster obtidas por todas as mutações possíveis. Muitos resultados sobre tais geradores já foram obtidos, por exemplo, seus denominadores são monômios e possuem estreita relação com módulos indecomponíveis da álgebra, e muitos outros seguem em aberto. Uma álgebra cluster é de tipo finito se é gerada por um conjunto finito de variáveis cluster. Uma de classificação obtida por Formin e Zelevinsky determina que a respectiva álgebra cluster é do tipo finito se e somente se seu grafo é obtido sobre diagramas de Dinkyn. Num outro enfoque, o conceito de simetrias é fortemente utilizado em diversos campos da Matemática e das ciências naturais, como na Física, Biologia e na Química. A estrutura algébrica que expressa simetrias é a teoria de grupos; mais especificamente, grupos de simetrias são gerados por reflexões e pertencem a uma classe mais ampla chamada Grupos de Coxeter. Uma reflexão é uma transformação linear que fixa um hiperplano de um espaço vetorial e leva os vetores de seu complemento em seus simétricos. Uma classificação dos grupos de reflexões finitos é feita utilizando sistemas de raízes (que também classificam Álgebras de Lie semisimples), matrizes de Cartan e os respectivos grupos de Weyl. A classificação é obtida por meio de diagramas de Dynkin, tal como das álgebras cluster de tipo finito. Este projeto buscou estudar a similaridade entre tais classificações. No desenvolvimento do projeto pudemos concluir que o aparecimento dos diagramas de Dinkyn em áreas tão diversas como Teoria de Lie, Grupos de reflexões, Representação de álgebras hereditárias etc é um indicativo de como as álgebras cluster podem ser aplicadas nestes diferentes contextos. Desta forma, por apresentarem características que permitem um tratamento computacional (estudamos alguns softwares sobre álgebras cluster), álgebras cluster permitem abordagens mais simples de problemas complexos em outras áreas da Matemática e das ciências em geral. Este projeto foi desenvolvido com apoio financeiro da FAPEMIG. |
| Palavras-chave | Algebras Cluster, Grupos de Coxeter, Sistemas de raízes |
| Forma de apresentação..... | Oral, Painel |