Fome e Abundância: Um Paradoxo Brasileiro?
17 a 22 de outubro de 2016
Trabalho 5663
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Brasilino Pedro Silva e Silva |
| Orientador | ANDRE JUNQUEIRA DA SILVA CORREA |
| Título | Progressões aritméticas e dinâmica |
| Resumo | Uma conjectura clássica sobre números primos que estava em aberto há muito tempo é a de que existem progressões aritméticas arbitrariamente longas formadas exclusivamente por primos. A maior dessas progressões conhecida atualmente é 468395662504823 + k · 45872132836530, 0 ≤ k ≤ 23, formada por 24 primos, descoberta em 18 de janeiro de 2007 por Jaroslaw Wroblewski. Esta conjectura foi finalmente demonstrada por Ben Green e Terence Tao em 2004. Tao ganhou uma medalha Fields em 2006, principalmente por causa deste trabalho. Não pretendemos estudar esse resultado pois se trata de um tema muito avançado. O objetivo principal desse trabalho é estudar o teorema de Van Der Warden, que diz que se pintarmos os números naturais usando r cores então pelo menos uma das cores aparece em progressões aritméticas arbitrariamente grandes. Para provar esse teorema usaremos uma abordagem via Sistemas Dinâmicos. O Teorema de Van der Warden foi provado em 1927 usando técnicas de análise combinatória. Note que o teorema de Van der Waden não implica na conjectura de números primos citada anteriormente mas ela foi o primeiro resultado nessa direção e guiou os matemáticos no caminho que depois passou pelo Teorema de Szemerédi até a prova da conjectura dos números primos em 2004. O mais importante nesse trabalho foi perceber a profunda relação existente entre teoria dos números e sistemas dinâmicos. A grosso modo essa relação(que foi descoberta por H. Furstemberg) diz que dada uma propriedade sobre números inteiros então é sempre possível(pelo menos teoricamente) encontrar um sistema dinâmico de tal modo que essa propriedade pode ser obtida ao estudar a recorrência desse sistema dinâmico. Nessa prova do Teorema de Van der Waden que apresentamos, essa relação aparece de um modo relativamente simples. Green e Tao usaram essa relação de um modo completamente profundo e inovador para conseguir provar a conjectura sobre números primos. Concluindo, achamos que esse trabalho é muito relevante por usar técnicas muito atuais nessa relação entre sistemas dinâmicos e teoria dos números. |
| Palavras-chave | Progressões Aritméticas, Recorrência, Van der Waden |
| Forma de apresentação..... | Painel |