Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 939
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Jeferson Camilo Silva |
| Orientador | MARGARETH DA SILVA ALVES |
| Título | Introdução à Análise Funcional: Espaços de Banach e Cálculo Diferencial |
| Resumo | Um dos objetivos do projeto foi desenvolver ferramentas que são úteis no estudo das Equações Diferenciais Parciais. Foram estudados tópicos de Análise Funcional e Cálculo Diferencial em Espaços de Banach. A análise funcional é uma das áreas centrais da matemática moderna. Esta teoria é aplicada em diversos ramos do conhecimento como, por exemplo, na Matemática, Economia e nas Engenharias e um dos principais impulsos para o seu desenvolvimento foi o estudo de equações diferenciais e integrais. Para o estudo do Cálculo ou da Geometria, mesmo de forma elementar ou intuitiva, é fundamental que se tenha a noção de “distância entre dois pontos” e “vizinhança de um ponto”. Definições de ponto de acumulação, limite, função contínua e comprimento de arco são outros conteúdos que dependem, direta ou indiretamente, da noção de distância. Desta forma, parece lógico que, quando se busca uma generalização do Cálculo, da Análise ou da Geometria, visando resolver problemas mais amplos, deve-se buscar antes o conceito de distância que independa das particularidades dos diversos tipos de “espaços”. Daí a importância de se estudar a topologia dos espaços métricos, conteúdo pelo qual iniciou-se este projeto. Também estudou-se a noção de espaços topológicos e propriedades básicas com a finalidade de se abordar, em estudos posteriores, as topologias fraca e fraca-estrela. As principais propriedades de espaços normados e seus espaços duais foram pré-requisitos necessários para o estudo das formas analíticas e geométricas do teorema de Hahan-Banach e suas principais consequências. Diversos resultados que generalizam tópicos da álgebra linear estudada em cursos de graduação foram abordados, citam-se como exemplos os teoremas de Banach-Steinhauss, Gráfico Fechado e Aplicação Aberta e a transposta de uma transformação linear contínua. Em seguida, iniciou-se o estudo de espaços normados separáveis e reflexivos, exemplificados através dos espaços de Banach das sequências reais de potência p-ésima somável. Foram estudas as convergências fracas e fraca-estrelas em espaços normados e investigou-se a relação desta teoria com os espaços reflexivos e separáveis. Finalmente, estudou-se tópicos de diferenciabilidade em espaços de Banach como, por exemplo, a regra da cadeia e o teorema da função inversa. Todos os objetivos do projeto foram alcançados, sendo proporcionado ao estudante uma visão global da pesquisa científica e qualificação para continuação de seus estudos em curso de pós-graduação. O estudo desenvolveu-se em torno de uma bibliografia de fácil compreensão, o que possibilitou ao estudante um bom entendimento dos assuntos abordados. |
| Palavras-chave | Espaços de Banach, espaços reflexivos, espaços separáveis. |
| Forma de apresentação..... | Painel |