Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 920
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Marcos Antonio da Silva Pinto |
| Orientador | SONIA MARIA FERNANDES |
| Título | A dimensão global de uma álgebra |
| Resumo | Dado um espaço vetorial V sobre um corpo K, estão definidas duas operações: a soma de elementos de V e a multiplicação por escalar, onde estes escalares são tomados em K. No entanto, se ao invés do corpo K tivermos um anel comutativo com unidade R, e definirmos uma multiplicação por escalar tomando os escalares em R, temos a definição do que vem a ser um módulo. No nosso trabalho estudamos a teoria básica de módulos. Em particular três tipos especiais, que são os módulos livres, projetivos e injetivos. Exibimos o conceito de R-módulos, bem como suas principais características. Vimos ainda como são definidas as aplicações lineares que envolvem quaisquer dois módulos e suas propriedades. Sabemos que todo espaço vetorial sobre um corpo possui uma base, o que nem sempre ocorre para módulos. Entretanto, os módulos livres possuem uma base e, além disso, contribuem de forma significativa para a caracterização dos módulos projetivos. Já a noção de módulos injetivos é dual da noção de módulos projetivos, isto é, na definição de módulos projetivos trocamos os epimorfismos por monomorfismos, sendo que na prática é suficiente inverter o sentido das flechas do diagrama dos módulos projetivos. Vimos que todo módulo livre é projetivo, e isso facilita muito a busca de exemplos destes módulos. Já para os módulos injetivos não temos essa implicação, por isso foi de grande importância estudar propriedades que envolvem esses módulos para então poder exibir exemplos dos mesmos. Estudamos também sequências exatas e sequências exatas que cindem. Elas são de grande importância no que diz respeito a módulos projetivos e injetivos, pois utilizando o funtor Hom temos uma caracterização para esses módulos via sequências exatas curtas. Por fim, definimos resolução projetiva de um módulo e a dimensão global de uma álgebra e com isso temos uma caracterização para diversas classes de álgebras de dimensão finita, como por exemplo vimos que uma álgebra é semissimples se, e somente se, a dimensão global é zero. O estudo de módulos livres, projetivos e injetivos tem grande ligação com diversas áreas da matemática tais como Topologia Algébrica e Álgebra Homológica, e todos os assuntos abordados neste trabalho de iniciação científica servem como alicerce para desenvolver pesquisas em outros ramos da matemática. |
| Palavras-chave | Dimensão, módulo, álgebra |
| Forma de apresentação..... | Oral |