Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 892
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Tobias Fernando Pinto |
| Orientador | SONIA MARIA FERNANDES |
| Título | Uma introdução à teoria de categorias |
| Resumo | Neste projeto estudamos um pouco sobre a teoria de categorias. A fonte original desta teoria foi a Topologia Algébrica e a Geometria Algébrica. Também estudamos o Teorema de P. Gabriel que associa a uma álgebra de dimensão finita um grafo orientado. Tal correspondência é muito útil quando se tem em mente a construção de exemplos ou a caracterização de certas classes de álgebras. Citamos como exemplo a classe das álgebras hereditárias, de tipo de representação finito (isto é, com um número finito de módulos indecomponíveis). Os grafos que as caracterizam são dadas pelos diagramas Dynkin, diagramas que aparecem em outras áreas da Matemática. A teoria de categorias estuda objetos do ponto de vista da interação entre si. Mais precisamente ela trata de morfismos. Em lugar da palavra "teoria", seria melhor dizer ``linguagem ", dada a falta de conteúdo para qualificá-la como uma teoria. Uma das vantagens dessa teoria é proporcionar o estudo de categorias complicadas, como no nosso projeto a categoria dos módulos de uma álgebra, pelo uso de categorias mais simples como a categoria dos grafos orientados. A categoria das representações de uma álgebra, ou seja, a categoria dos seus módulos (ou representações) é conhecida se podemos obter todos os módulos indecomponíveis e os morfismos entre eles. Essas representações são mais fáceis de serem estudadas no caso em que a álgebra a menos de isomorfismo, tem apenas um número finito de módulos indecomponíveis. A representação de uma categoria por meio de diagramas facilita a descrição desses módulos. Podemos fazer ligações entre as categorias pelos funtores e transformações naturais. Na categoria dos módulos estudamos algumas definições e resultados, como por exemplo submódulos, homomorfismos e Teorema do homomorfismo, que podem ser encontrados também em outras categorias, como nas categorias de anéis e espaços vetoriais. Podemos olhar a categoria dos módulos como uma categoria mais geral que a categoria de espaços vetoriais, por ter as mesmas operações, porém a multiplicação por escalar é sobre um anel ou sobre uma álgebra e não sobre um corpo. Neste trabalho também estudamos os módulos projetivos e injetivos. Vimos que o funtor Hom pode ser usado para a caracterização desses módulos. |
| Palavras-chave | Categorias, módulos, grafos |
| Forma de apresentação..... | Oral |