Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 83
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | FUNARBIC/FUNARBE |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | FUNARBE |
| Primeiro autor | Heber Cristina Teixeira |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Teorema de Morita para Categoria de Módulos |
| Resumo | O estudo da categoria de A-módulos sobre uma álgebra A é um dos principais objetivos da Teoria de Representações de Álgebras. Este interesse se justifica, por um lado, pela equivalência desta categoria com a categoria de representações da álgebra A sobre o anel de endomorfismos End(V) de um espaço vetorial V. Quando V possui dimensão finita, fixada uma base, a representação se realiza sobre o anel de matrizes quadradas, o que muitas vezes simplifica o estudo da álgebra. Por outro lado, existem vários importantes invariantes de uma álgebra A, por exemplo, seu centro Z(A), seu grupo de Grothendieck etc que podem ser obtidos numa álgebra B, “mais simples”, que seja Morita equivalente a álgebra A. Para cada um destes invariantes existe um teorema que assegura o isomorfismo destes invariantes para álgebras com categorias de módulos equivalentes. O primeiro estudo sistemático da equivalência de categorias de módulos foi feito em 1958 por Kiiti Morita. Em seu artigo, Morita aborda equivalências contravariantes (dualidades) e covariantes (equivalência de módulos propriamente dita). Estabelece condições necessárias e suficientes para que as categorias de módulos de duas álgebras sejam equivalentes. Neste caso, dizemos que as álgebras são Morita equivalentes. Por exemplo, toda álgebra A é Morita equivalente a álgebra Mn(A) de matrizes quadradas de tamanho n com entradas em A. No artigo de obituário, em homenagem a Morita, os autores consideram o Teorema de Morita “provavelmente um dos mais frequentes resultados utilizados na álgebra moderna”. Atualmente a Teoria de Morita se aplica em categorias abelianas e, mais geralmente, em categorias trianguladas tais como a categoria derivada de uma álgebra. Nosso objetivo neste trabalho é descrever as condições necessárias e suficientes para a existência de uma equivalência entre as categorias de A-módulos e de B-módulos, para duas álgebra A e B de dimensão finita, e esboçar uma demonstração. Essas equivalências são caracterizados pelos módulos progeradores. Um módulo é progerador se for projetivo e gerar a categoria. Vamos apresentar a Teoria de Morita do ponto de vista clássico, na forma apresentada pelo próprio Morita, que estabelece: Sejam A e B duas álgebras. Existe uma equivalência F: modA → modB se, e somente se, existe um A-módulo progerador P tal que End P ≈ B. Neste caso, a equivalência é dada, de forma única, pelo par de funtores F = HomA(P, - ) e G = - ⊗B P, a menos de isomorfismo de funtores. |
| Palavras-chave | Morita, módulos, álgebras |
| Forma de apresentação..... | Oral |