Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 720
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Pós-graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CAPES |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CAPES |
| Primeiro autor | Carlos Henrique Alves Costa |
| Orientador | MARINES GUERREIRO |
| Título | Automorfismos de Grupos Abelianos Finitos |
| Resumo | Em vista dos brilhantes sucessos das aplicações do grupo de automorfismos em outras áreas da matemática, tais como: Teoria dos Grupos Finitos, Teoria de Representações, K-Teoria, Combinatória e Geometria é um pouco surpreendente que grupos de automorfismos tenham sido negligenciados da Teoria de Grupos Abelianos. Talvez a maior razão é a dificuldade de obtenção de teoremas de estrutura transparentes para estes grupos. Diante disso, em alguns casos especiais, é importante conhecer o grupo de automorfismo de G, que denotaremos por Aut(G), onde G é um grupo abeliano finito. A primeira caracterização completa do grupo de automorfismos de um grupo abeliano finito foi tratada por Arthur Ranum em 1907 no artigo: “The group of classes of congruentes matrices whith application to the group of isomorphisms of any abelian group”. Além desta, existem poucas exposições a respeito deste assunto. Este trabalho tem como foco principal fazer uma caracterização completa do grupo de automorfismos de qualquer grupo abeliano finito G, Aut(G), contribuindo com um tratamento bastante acessível e moderno. Com base em resultados da Teoria de Grupos, tais como os teoremas de Sylow e a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados, mostramos que todo grupo abeliano finito G é isomorfo ao produto direto de grupos da forma Hp, onde o grupo Hp é isomorfo ao produto direto de seus subgrupos cíclicos. Realizaremos esta caracterização de Aut(G) em três etapas principais: A primeira observação a ser feita nos diz que é suficiente trabalhar com os grupos do tipo Hp. Esta redução é realizada utilizando o seguinte fato: Sejam H e K grupos finitos com ordens relativamente primas, então o grupo de automorfismos do produto direto de H por K é igual ao produto direto do grupo de automorfismos de H pelo grupo de automorfismos de K. Em seguida, descrevemos o anel dos endomorfismos de Hp, que denotaremos por End (Hp) como um subanel das matrizes de Znxn. Finalmente, as unidades Aut(Hp) contidas em End(Hp) são identificadas por esta construção. Como consequência de nossa investigação, obtemos prontamente uma fórmula para o número de elementos de Aut(G) para qualquer grupo abeliano finito G. |
| Palavras-chave | Automorfismos de grupos, Endomorfismos, Grupos abelianos finitos |
| Forma de apresentação..... | Painel |