Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 521
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PROBIC/FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Weberson da Silva Arcanjo |
| Orientador | ANDERSON LUIS ALBUQUERQUE DE ARAUJO |
| Título | Uma introdução aos espaços de Sobolev e aplicações |
| Resumo | Um importante aspecto da teoria dos problemas de valores de contorno é em relação à natureza da solução para o problema. Por exemplo, consideremos a seguinte equação diferencial ordinária: u’’(t)=-f(u(t)), com t no intervalo (0,1) e u(0)=u(1)=0. (1) Dado o problema encontrar uma função u que satisfaz uma equação diferencial (parcial ou ordinária) e uma ou mais condições de fronteira, é de grande valor saber de antemão se tal solução existe e, se existe, que esta é única, e finalmente o quanto suave esta função é. Quando abordamos essas questões lidamos essencialmente com o tratamento das propriedades de um operador (e nestes casos um operador diferencial parcial ou um operador diferencial ordinário) A, definido de um espaço de funções U em um outro espaço V (A: U → V). Os espaços C^m(Ω) parecem ser apropriados quando estamos lidando com equações diferenciais desde que eles são espaços de funções m-vezes continuamente diferenciáveis. Entretanto, eles sofrem a desvantagem que, com exceção de C(Ω) com a norma do supremo, não são completos. Esta deficiência colocaria desnecessariamente severas restrições sobre os desenvolvimentos futuros das equações. Os espaços de Sobolev H^m(Ω) (ou W^m,2(Ω)) proporcionam, como veremos, um ambiente natural para problemas de valores na fronteira porque, primeiramente, eles são completos, ou seja, são espaços de Banach, segundo, é possível obter resultados bem mais gerais em relação à existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, usando esses espaços. Uma terceira vantagem é o fato de os espaços de Sobolev proporcionarem um meio de caracterizar o grau de suavidade das funções. Finalmente, e talvez o mais importante é o fato que métodos de soluções aproximadas tal como o método de Galerkin e o método dos elementos finitos são mais convenientes e corretamente formulados em subespaços de dimensão finita de espaços de Sobolev. Mostraremos que estudar condições de regularidade para uma solução u de (1), estará relacionado à regularidade da função f:R→R. |
| Palavras-chave | Espaços de Banach, Espaços de Sobolev, Equações diferenciais ordinárias. |
| Forma de apresentação..... | Oral |