Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 1559
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Barbara Cunha Fontes |
| Orientador | SIMONE MARIA DE MORAES |
| Título | Aplicação Normal de Gauss de Superfícies |
| Resumo | Considere S uma superfície parametrizada regular no 3-espaço euclidiano, isto é, S é um subconjunto do espaço tridimensional que localmente em cada ponto é homeomorfa a um aberto do plano e no qual em cada ponto p temos um plano tangente TpS e, consequentemente, um vetor normal à S em p. Além disso, se S é uma superfície orientável, então a aplicação que associa a cada ponto p de S um vetor normal está globalmente definida através de um campo de vetores contínuo, assim temos definida a Aplicação Normal de Gauss N: S → S2 , que associa a cada ponto p de S um vetor normal unitário N(p) na esfera unitária bidimensional S2. O objetivo deste trabalho é analisar as singularidades da Aplicação Normal de Gauss sob determinadas condições. A metodologia adotada para alcançar os objetivos foi a própria da pesquisa matemática, que consiste na revisão bibliográfica de livros e artigos relacionados aos temas propostos, além de utilizar aplicativos computacionais para esboçar superfícies e verificar características das mesmas. Uma das características mais importantes da Aplicação Normal de Gauss é que suas singularidades ocorrem nos pontos em que a curvatura gaussiana K se anula. De acordo com a terminologia de Whitney, para aplicações do plano no plano, as únicas singularidades são pontos de dobra e pontos de cúspide. Como S e S2 são superfícies bidimensionais, então as singularidades da aplicação N são dobras e cúspides. Considerando que N é uma aplicação boa, ou seja, o vetor gradiente da curvatura gaussiana K é não nulo quando K=0, então os pontos singulares de N ocorrem ao longo das curvas parabólicas e separam as regiões elípticas e hiperbólicas da superfície. Admitindo ainda que N é estável e excelente, ou seja, as derivadas de 1ª e 2ª ordens de N ao longo das curvas parabólicas não se anulam simultaneamente, então os pontos singulares de N são pontos do tipo cúspide. Assim, neste trabalho pretendemos analisar as singularidades da Aplicação Normal de Gauss de superfícies orientadas com N aplicação excelente. Fazemos isto analisando diferentes exemplos de superfícies nestas condições, obtendo as respectivas curvas parabólicas e, portanto as singularidades de N. Além disso, estudamos a caracterização das cúspides da Aplicação Normal de Gauss, que denominamos cúspides gaussianas. Enunciamos o teorema das oito caracterizações destas cúspides e analisamos o significado de alguns deles em termos da geometria da superfície no ponto considerado. Através da análise das singularidades da Aplicação Normal de Gauss foi possível adentrar no estudo da Geometria Diferencial de superfícies e relacionar conceitos importantes tais como curvaturas normais, curvatura gaussiana, curvas parabólicas com as singularidades desta aplicação e com a geometria da superfície. |
| Palavras-chave | Aplicação normal de gauss, cúspides, singularidades. |
| Forma de apresentação..... | Oral |