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21 a 26 de outubro de 2013
Trabalho 1402
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Bruno Rodrigues dos Santos |
| Orientador | SIMONE MARIA DE MORAES |
| Título | Aplicações do Grupo Fundamental em Teoremas Clássicos e Grupos de Homologia Simplicial |
| Resumo | A Topologia Algébrica é a subárea da Topologia, que estuda a categoria dos espaços topológicos e das funções contínuas entre estes espaços, através de estruturas algébricas associadas. O marco inicial desta área foi um artigo de Henri Poincaré publicado em 1895, no qual introduziu o primeiro invariante topológico algébrico: o grupo fundamental de um espaço topológico. Nos estudos de Poincaré aparece um outro conceito importante desta área, o de homologia, que surgiu como uma consequência do estudo da geometria de n-dimensional. Neste trabalho primeiro utilizamos o grupo fundamental para demonstrar três teoremas clássicos da Matemática: Teorema Fundamental da Álgebra, Teorema de Borsuk-Ulam e Teorema da Curva de Jordan; e em seguida construímos os grupos de homologia simplicial. O Teorema Fundamental da Álgebra é um resultado central no estudo algébrico de polinômios no corpo dos números complexos, que afirma que todo polinômio f de grau positivo com coeficientes complexos admite ao menos uma raiz. A primeira demonstração do teorema foi feita por Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Aqui introduzimos uma versão topológica da demonstração do teorema fazendo uso do grupo fundamental. O Teorema de Borsuk-Ulam, conjecturado por Stanislaw Ulam e demonstrado em 1933 por Karol Borsuk, afirma que toda aplicação contínua da esfera n-dimensional no espaço euclidiano n-dimensional, leva dois pontos antípodas no mesmo ponto. Apresentamos a demonstração deste teorema para a esfera bidimensional, que neste caso pode ser aplicado no seguinte problema: Em cada instante, existe um par de pontos antípodas sobre a superfície da Terra nos quais a temperatura e a pressão atmosférica coincidem. O Teorema da Curva de Jordan é um resultado clássico da Matemática que trata de curvas planas fechadas, é um dos poucos da área de Topologia que é de fácil entendimento, mas difícil de ser demonstrado. Ele afirma que uma curva fechada e simples no plano separa-o em duas regiões, uma limitada e a outra ilimitada, cuja fronteira comum é a curva. A primeira demonstração desse teorema foi feita em 1887, pelo matemático francês M. E. C. Jordan, mas não era completa, pois considerava apenas curvas poligonais. A primeira demonstração para uma curva plana fechada simples é de Oswald Veblen, publicada em 1905. Apresentamos uma demonstração construtiva utilizando o grupo fundamental como principal ferramenta. Os grupos de homologia de um espaço topológico são invariantes topológicos que são construídos a partir de uma dada triangulação do espaço. Estes invariantes não são completos, pois podemos ter espaços que não são equivalentes e que têm mesmos grupos de homologia. Porém, estes grupos são abelianos e, portanto mais fáceis de lidar do que o grupo fundamental que em geral não é comutativo. Fazemos a construção dos grupos de homologia e apresentamos os grupos para espaços de dimensões baixas e para superfícies clássicas em Topologia, tais como esfera, toro, plano projetivo, etc. |
| Palavras-chave | Grupo fundamental, homologia, topologia algébrica |
| Forma de apresentação..... | Oral |