Ciência, saúde e esporte: conhecimento e acessibilidade
22 a 24 de outubro de 2013
Trabalho 1293
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Caroline Correa de Faria |
| Orientador | VAGNER RODRIGUES DE BESSA |
| Outros membros | Dayane Helena de Carvalho |
| Título | Um estudo sobre a distribuição dos números primos |
| Resumo | Um número primo é um número natural maior que um, que só é divisível por um e por ele mesmo. Um número que não é primo é chamado de composto. Os Gregos provaram (300 A.C.) que existe uma infinidade de números primos, espaçados de maneira irregular, visto que não existe nenhuma razão constante entre dois primos consecutivos. Ao longo dos anos várias questões foram feitas acerca dos números primos: Como saber se um determinado número (de uma ordem de grandeza elevada) é primo? Qual a disposição do conjunto de números primos dentro do conjunto dos números naturais? Apesar da existência de fórmulas que geram números primos, não se conhece nenhuma fórmula simples, isto é, as fórmulas que existem são tão complicadas que não ajudam muito nem a gerar números primos explicitamente nem a responder perguntas teóricas sobre a sua distribuição dentro do conjunto dos números naturais. Chebyshev provou que os primos não são tão “esparsos” dentro do conjunto dos números naturais. Ele mostrou que dado um número natural n sempre existe um número primo entre n e 2n. Esse Teorema é conhecido como Postulado de Bertrand por razões históricas. A aplicabilidade em saber respostas das questões teóricas levantadas é imensa. Destacamos por exemplo, o método de criptografia RSA, que é baseado na escolha de dois números primos p e q, obtendo um número natural n = pq (este valor é utilizado na codificação e é público). Já na decodificação, é necessário conhecer p e q, que são privados. A segurança do método consiste na dificuldade de fatorar n, uma vez que os primos que são multiplicados são enormes, com no mínimo 250 algarismos cada. Por exemplo, um supercomputador demoraria tanto para fatorar um número de 300 algarismos, que superaria o intervalo de tempo em que o Universo existe. O objetivo deste trabalho é apresentar algumas estimativas, alcançadas ao longo dos anos, sobre números primos, e fazer uma discussão sobre a disposição destes números dentro do conjunto dos números naturais. Destacando um resultado demonstrado em 1896 por Cauchy, Hadamard, Dela Valée Poussin, que diz o seguinte: Seja x um número inteiro e π(x) a função que mede a cardinalidade do conjunto de números primos menores ou iguais a x. Então a função f(x) = π(x) / (x /log x) tende a 1 quando x tende a infinito, onde g(x) = log x representa a função logaritmo na base natural e. |
| Palavras-chave | Distribuição de números primos, Postulado de Bertrand, Criptografia RSA |
| Forma de apresentação..... | Oral |