Das Montanhas de Minas ao Oceano: Os Caminhos da Ciência para um Futuro Sustentável

20 a 25 de outubro de 2025

Trabalho 22499

Instituição Universidade Federal de Viçosa
Nível Graduação
Modalidade Pesquisa
Área de conhecimento Ciências Exatas e Tecnológicas
Área temática Ciências Exatas e da Terra
Setor Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas
Bolsa PIBIC/CNPq
Conclusão de bolsa Sim
Apoio financeiro CNPq
Primeiro autor Luiz Guilherme de Sá Gontijo
Orientador LUIS FELIPE GONCALVES FONSECA
Título Polinômios, Bases de Gröbner e Álgebra Computacional
Resumo As bases de Gröbner são ferramentas poderosas na álgebra computacional e têm grande relevância, tanto teórica quanto prática. Introduzidas por Bruno Buchberger em 1965, elas transformam sistemas de equações polinomiais em formas mais simples e sistemáticas, facilitando a resolução de uma ampla gama de problemas. Resumidamente, se um conjunto de polinômios f1, ... , fr é uma base de Gröbner, é possível responder com certa facilidade às seguintes questões: Se um polinômio p pode ser representado como uma combinação de f1, ... , fr com coeficientes polinomiais g1, ... , gr; E se f1 = ... = fr = 0 tem soluções, e determinar quais são essas soluções. Para atingir essas respostas, Bruno propôs algoritmos que, embora tenham execução extensa, podem ser implementados em um computador de maneira relativamente simples. Como diversos problemas podem ser modelados como polinômios através da álgebra, essas propriedades passam a ser extremamente úteis em muitas áreas e contextos. Duas delas são: Controle de tráfego ferroviário, onde as regras de movimentação dos trens são ser modeladas como polinômios, e as bases de Gröbner, utilizadas para garantir uma configuração segura da malha ferroviária, sem risco de colisão entre trens e com horários otimizados; e cálculo proposicional, onde as proposições lógicas que compõem teoremas podem ser modeladas como polinômios, e as bases de Gröbner, utilizadas para determinar se um argumento é verdadeiro ou falso, transformando um problema lógico em um problema algébrico. Apesar de ter aplicações muito práticas, o alicerce em que as bases de Gröbner são construídas é muito teórico, sendo necessário primeiro passar pelos diversos conceitos da Álgebra e da Geometria que as compõem (anéis de polinômios, anéis noetherianos, variedades afim, ideais) e entender os teoremas e definições que as fundamentam (Teorema da base de Hilbert, teorema dos zeros de Hilbert, divisão de polinômios em várias variáveis e ordenações lexicográficas). Sendo assim, o objetivo deste projeto é compreender as bases de Gröbner enquanto ferramenta matemática ─ primeiro, estudando a teoria por trás delas, principalmente por meio do livro Ideals, Varieties and Algorithms, de Cox et al.; depois, entendendo a modelagem das aplicações citadas, trazidas no livro Um Primeiro Contato com Bases de Gröbner e suas Aplicações, de Marcelo Escudeiro Hernandes; e, por fim, apresentar esses conhecimentos no Simpósio de Integração Acadêmica da UFV - SIA UFV 2025.
Palavras-chave Bases de Gröbner, Tráfego ferroviário, Lógica proposicional
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