Conexão de Saberes e Mundialização
9 a 14 de novembro de 2015
Trabalho 5151
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Deisiane Lopes Gonçalves |
| Orientador | ALEXANDRE ALVARENGA ROCHA |
| Título | Propriedades dinâmicas de fluxos em superfícies compactas |
| Resumo | A característica de Euler de uma superfície é um invariante topológico de superfícies compactas que desempenha um papel importante em várias situações geométricas e topológicas. O Teorema de Poincaré-Hopf relaciona a característica de Euler com a soma dos índices de um campo numa singularidade hiperbólica. Mais precisamente, ele diz que a característica de Euler de uma variedade diferenciável compacta M é igual a soma dos índices das singularidades isoladas de um campo de vetores suave v definido em M, independentemente da escolha do campo v. Como uma consequência, temos que todo campo de vetores de classe C1 na esfera bidimensional S2 possui pelo menos uma singularidade. Por outro lado, no toro, que tem característica de Euler igual a zero, existem campos sem singularidades. Muitas propriedades locais importantes de uma superfície podem ser expressas apenas em termos da primeira forma fundamental. O estudo de tais propriedades é chamado de geometria intrínseca da superfície. A definição de derivada covariante de um campo de vetores é análogo para superfícies da derivada usual de vetores no plano. Quando uma curva parametrizada α tem o campo de vetores tangentes α'(t) paralelo ao longo de α em t, dizemos que α é uma geodésica em t. A noção de geodésica é, evidentemente, local. Em uma superfície, quando queremos encontrar uma curva que minimiza o comprimento de arco entre dois pontos, devemos buscá-la entre as geodésicas. Em uma superfície as geodésicas podem ser caracterizadas como as curvas α tais que sua aceleração “vista” da superfície é nula, ou seja, a aceleração de α é perpendicular à superfície. O sistema de equações diferenciais que define as geodésicas é de segunda ordem e é associado a um campo de vetores no fibrado tangente da superfície. A existência de geodésicas minimizantes entre dois pontos de superfícies completas é garantido pelo Teorema de Hopf-Rinow, que ser á apresentado neste trabalho, como também, o Teorema de Poincaré-Hopf. |
| Palavras-chave | Campos de vetores, Campos de vetores em superfícies, Geodésica |
| Forma de apresentação..... | Painel, Oral |