Conexão de Saberes e Mundialização
9 a 14 de novembro de 2015
Trabalho 4612
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Primeiro autor | Reyssila Franciane Dutra do Nascimento |
| Orientador | JUSTINO MUNIZ JUNIOR |
| Título | Dinâmica de Difeomorfismos do Círculo |
| Resumo | Dado um difeomorfismo f definido sobre uma variedade, encontrar conjuntos invariantes por f é essencial para obter propriedades qualitativas interessantes. No círculo, esse problema é bem entendido e vários resultados são conhecidos. O número de rotação é um conceito importantíssimo nesse caso (cujo estudo rendeu uma Medalha Fields a Jean-Christophe Yoccoz em 1994), juntamente com a regularidade de f. Estes classificam a equivalência ou não de f com uma rotação. Dado um difeomorfismo f:S1→S1 do círculo no círculo, dizemos que f é um difeomorfismo Morse-Smale se satisfaz duas condições: 1) f possui pelo menos um ponto periódico; 2) todo ponto periódico de f é hiperbólico. Dado um ponto fixo ou periódico x ∈ S1, dizemos que x é um ponto hiperbólico se |f’(x)|≠ 1. Em particular, se x é um ponto hiperbólico e |f’(x)| < 1 então x é dito atrator. Se |f’(x)| > 1, então x é dito repulsor. Dizer que um difeomorfismo do círculo f é Cr– estruturalmente estável, significa dizer que todo difeomorfismo g:S1→S1 tal que d(f,g)< ε (distância na topologia Cr) é topologicamente conjugado a f. O Closing Lemma garante que apenas transformações com número de rotação racional podem ser estruturalmente estáveis. Aliado a esse resultado utilizam-se “bump functions” a fim de perturbar um difeomorfismo do círculo f preservando sua classe de diferenciabilidade, de modo a se obter o resultado principal: f é um difeomorfismo Morse-Smale de S1 se, e somente se, é estruturalmente estável. Para realização deste trabalho foram estudados conceitos de Topologia de Espaços Métricos e Sistemas Dinâmicos, comumente encontrados na literatura. Estudamos o Teorema de Denjoy (classificação para difeomorfismos do círculo de classe Cr com r>1) e o Exemplo de Denjoy, o qual exibe, para cada irracional, um difeomorfismo do círculo de classe C1 tal que seu número de rotação é este irracional dado. Entretanto este difeomorfismo não é conjugado a uma rotação, ou seja, não possui órbitas densas no círculo. Vale ressaltar que o estudo de difeomorfismos Morse-Smale que preservam orientação no círculo são válidos também para difeomorfismos Morse-Smale que invertem orientação (na topologia Cr). Em termos de generalização na dimensão é conhecido que difeomorfismos Morse-Smale não são equivalentes a difeomorfismos estruturalmente estáveis. |
| Palavras-chave | Difeomorfismos do Círculo, Conjuntos Invariantes, Número de rotação. |
| Forma de apresentação..... | Painel, Oral |