Do Lógico ao Abstrato: A Ciência no Cotidiano
23 a 28 de outubro de 2017
Trabalho 8779
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | Outros |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | Outros |
| Primeiro autor | Maurício de Oliveira Celeri |
| Orientador | LIA FEITAL FUSARO ABRANTES |
| Título | Curvas algébricas planas e introdução à teoria da interseção |
| Resumo | Curvas algébricas planas afins, ou simplesmente curvas planas, são definidas como uma classe de equivalência entre polinômios em K[X,Y], onde K é um corpo, definida pela relação onde se considera os múltiplos de um polinômio. Curvas algébricas planas formam a base da pesquisa em geometria algébrica e, apesar de ser um tema recorrente durante vários séculos, ainda hoje há necessidade do entendimento de propriedades destas curvas, principalmente características invariantes e interseção, devido ao aumento recente da aplicabilidade destes conceitos. O objetivo deste trabalho foi estudar as características das curvas algébricas planas relacionadas à interseção destas. A metodologia utilizada foi a de pesquisa matemática, que consiste de revisão bibliográfica seguida de discussão dos tópicos em reunião com a orientadora. Considerando um polinômio F em K[X,Y], o conjunto dos zeros de F, denotado por V(F), define a o traço da curva plana, determinar a interseção de duas curvas F e G é equivalente a determinar V(F∩G). Para K um corpo algebricamente fechado podemos enunciar o Nullstellensatz de Hilbert, ou Teorema dos Zeros de Hilbert, que diz que se I é um ideal em K[X,Y], então I(V(I))=Rad(I), onde Rad(I) representa o radical do ideal I, um caso particular em que I é um ideal Próprio de K[X,Y], o Nullstellensatz afirma que V(I) é não vazio, isto é, há interseção entre as curvas F em I. Dadas duas curvas F e G, fixando os coeficientes destas curvas em K[X], teremos estas curvas em K[X][Y]. Nestas condições, dadas duas curvas F e G com graus, respectivamente, m e n, define-se a resultante de F, G, determinante de uma matriz (m+n)x(m+n). Este processo retorna as abscissas dos pontos de interseção de F e G. Note que este não fornece a multiplicidade de um ponto de interseção. Para corrigir esta falha aparente, inserimos a definição do plano projetivo, no qual ajunta-se ao plano usual uma reta no infinito. Neste plano consideramos a homogeneização da curva F, um polinômio homogêneo em K[X,Y,Z]. A definição de uma curva plana projetiva é a mesma usada para uma curva plana afim. Para o espaço projetivo pode-se determinar com precisão o número de interseção entre duas curvas sem componentes em comum, este resultado é o Teorema de Bézout, que afirma que dadas duas curvas projetivas F e G de graus, respectivamente, m e n, nas condições destacadas, a interseção de F e G possui mn pontos, não necessariamente todos distintos. |
| Palavras-chave | Curvas Planas, Interseção, Teorema de Bézout |
| Forma de apresentação..... | Painel |