Do Lógico ao Abstrato: A Ciência no Cotidiano
23 a 28 de outubro de 2017
Trabalho 8738
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Gabriela Moraes |
| Orientador | EDSON JOSE TEIXEIRA |
| Título | A construção dos números racionais |
| Resumo | Os conjuntos numéricos aparecem de forma natural em nosso cotidiano e são aceitos sem questionamentos pela ampla maioria dos estudantes. Nos cursos de graduação em Matemática não é comum a formalização com rigor da construção de tais conjuntos numéricos. Desta forma, a formação de um estudante apresenta uma lacuna vazia. Iniciamos o projeto abordando conceitos básicos necessários para a construção, tais como a teoria de conjuntos, relações de equivalência e relações de ordem. Mediante o entendimento destes conceitos básicos, a construção dos números naturais pode ser desenvolvida, utilizando como base os Axiomas de Peano. Ademais, o conjunto dos números naturais é munido de duas operações, chamadas de adição e multiplicação, sobre as quais estudamos suas propriedades. Tal conjunto numérico também é dotado de uma relação de ordem, que consiste em uma forma de comparar quaisquer dois elementos. Após este progresso, por meio de uma relação de equivalência sobre grupos de pares ordenados de números naturais, obtemos um novo conjunto constituído pelas classes de equivalência desta relação, o qual é chamado de conjunto dos números inteiros. Este também é munido de duas operações, adição e multiplicação, que são estudadas juntamente com suas propriedades. Um cuidado a ser tomado neste ponto é garantir uma boa definição destas operações. O conceito de número negativo aparece naturalmente, uma vez que todo elemento do conjunto dos números inteiros possui oposto. Apresenta-se também a “inclusão” do conjunto dos números naturais no conjunto dos números inteiros, a partir de uma cópia algébrica do primeiro no segundo conjunto. Prosseguindo com o trabalho, faz-se a construção dos números racionais através de uma relação de equivalência sobre o conjunto dos pares ordenados de números inteiros, com segunda componente não nula. De maneira similar, este grupamento é munido de operações, que possuem propriedades semelhantes aos conjuntos estudados anteriormente, mas que possui a propriedade adicional de que todos elemento diferente de zero possui inverso. Mostramos que existe uma cópia algébrica do conjunto dos números inteiros dentro do conjunto dos números racionais. Tal conjunto possui uma relação de ordem total e o mesmo é enumerável. Os próximos passos, consistem na construção dos números reais e dos números complexos. A construção dos números reais será realizada utilizando Cortes de Dedekind e a construção dos números complexos seguirá procedimento mais simples, mas não menos importante. |
| Palavras-chave | naturais, inteiros, racionais |
| Forma de apresentação..... | Painel |