Do Lógico ao Abstrato: A Ciência no Cotidiano
23 a 28 de outubro de 2017
Trabalho 7629
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Vinicius Kobayashi Ramos |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Grupos e Álgebras de Lie de Matrizes |
| Resumo | Neste trabalho, parte de um projeto sobre "Álgebras de Lie e Representações", apresentamos os conceitos de Grupos de Lie de Matrizes, Álgebras de Lie de Matrizes e as relação entre eles. Grupos de Lie podem ser tratados como generalizações contínuas dos grupos de Galois, ou seja, são grupos contínuos de simetrias. Formalmente definimos um grupo de Lie como um subgrupo fechado de Gl(n,C) (grupo das matrizes complexas invertíveis). Apresentamos alguns exemplos e contra exemplos (subgrupos não fechados) de grupos de Lie. Dentre eles, encontram-se os grupos Ortogonal, Unitário, Simplético e o grupo de Lorentz, grupos de simetrias relacionados com respectivas geometrias, de grande aplicação na Matemática e de interesse particular para os físicos. Grupos de Lie são objetos tipicamente não lineares. Uma forma de aborda-los de maneira linear, mais simples e introduzida por Sophus Lie, é estuda-los localmente em um plano tangente na identidade (neutro) do grupo. Esta forma linear da origem às Álgebras de Lie. Uma álgebra de Lie de matrizes "g" de um grupo de Lie de matrizes "G" é o conjunto de todas as matrizes A tais que a exponencial de tA está em "G" para todo número t real. Definimos a exponencial de uma matriz como uma série convergente de matrizes, análoga à conhecida série exponencial de um número real. Apresentamos o cálculo da exponencial de uma matriz arbitrária. É por meio da exponencial que se estabelece a conexão entre grupos de Lie de matrizes e suas respectivas álgebras de Lie de matrizes. Em seguida, definimos os subgrupos de Gl(n,C) a um parâmetro. Objetos que são chave para o "transporte" do grupo de Lie para a respectiva álgebra de Lie. O subgrupo de Gl(n,C) a um parâmetro é uma função contínua A dos reais para Gl(n,C) que satisfaz: A(0) = I e A(t+s) = A(t)A(s) para quaisquer s e t reais. Essas propriedades são satisfeitas pela exponencial de uma matriz tX (t real, e X matriz quadrada qualquer) como função contínua de t. Dessa forma, a relação entre subgrupos de Lie e a correspondente álgebra de Lie se obtém de um resultado que diz que todo subgrupo de Gl(n,C) a um parâmetro é a exponencial de tX para alguma matriz X e t variando nos reais. O interesse no transporte do grupo para álgebra é justificado pelos seguintes resultados: Um grupo de Lie de matrizes G é uma subvariedade suave embutida em Mn(C) (espaço das matrizes quadradas complexas de ordem n) e a álgebra de Lie de matrizes correspondente g é o espaço tangente a G na identidade. Portanto g é um espaço linear e assim os conceitos de álgebra linear são aplicados no manejo de g, o que explica a simplificação citada acima no estudo dos grupos de Lie. Nesta apresentação calculamos um exemplo explícito destas conexões entre grupos de Lie e álgebras de Lie. Conceitos mais gerais relacionados as álgebras de Lie não matriciais foram desenvolvidos no âmbito do projeto citado no início. |
| Palavras-chave | Álgebras de Lie, Grupos de Lie, Grupos de Matrizes |
| Forma de apresentação..... | Oral, Painel |