Do Lógico ao Abstrato: A Ciência no Cotidiano
23 a 28 de outubro de 2017
Trabalho 7625
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | Outros |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Fernanda Helen Moreira Baêta |
| Orientador | CATARINA MENDES DE JESUS SANCHEZ |
| Título | Estudo das cúspides de aplicações de superfícies fechadas na esfera |
| Resumo | Segundo Whitney, as aplicações estáveis entre duas superfícies, localmente podem ser vistas como aplicações do plano no plano, onde as singularidades locais são do tipo dobra ou cúspides. O conjunto singular de uma aplicação estável de uma superfície fechada e orientada na esfera consiste de uma coleção de curvas fechadas, simples e disjuntas que separa as regiões regulares da aplicação sobre a superfície. A imagem do conjunto singular, conhecida como contorno aparente, consiste de uma coleção de curvas fechadas e imersas sobre a esfera, com possíveis interseções transversais e singularidades correspondentes às cúspides, sendo ambas em número finito. Em $1978$, Quine apresentou um teorema global para aplicações estáveis entre superfícies fechadas e orientadas, e o demonstrou usando resultados da Teoria de Variedades Diferenciáveis. Este teorema relaciona a soma do grau das cúspides com a característica de Euler do contradomínio e de dois conjuntos da aplicação: M+ formado pelo fecho das regiões regulares que tem a orientação preservada pela aplicação e, M- formado pelo fecho das regiões regulares que tem a orientação invertida pela aplicação. Neste trabalho veremos uma relação entre as cúspides positivas e negativas de uma aplicação estável de uma superfície fechada e orientada na esfera. Esta relação esta determinada pelas características de Euler dos conjuntos regulares e o grau da aplicação. Um resultado muito conhecido que apresenta esta relação é o Teorema de Quine. Chamamos de transições de codimensão 1, as deformações locais no contorno aparente, que ocorrem quando um caminho atravessa complemento das aplicações estáveis. As transições que alteram a topologia do conjunto regular e do conjunto singular das aplicações estáveis são as transições bicos, que pode unir duas curvas singulares ou decompor uma curva em duas e a transição lábios, onde pode aumentar ou diminuir o número de curvas singulares e o número de cúspides. A transição rabo de andorinha altera o número de cúspides mas não altera o número de curvas singulares. As demais transições também não alteram o número de curvas ou de cúspides. Um dos principais resultados que apresentaremos neste trabalho, foi obtido por Mendes de Jesus, que é um resultado equivalente ao teorema de Quine. Este resultado foi demonstrado via transições de codimensão 1 e cirurgias de aplicações estáveis. |
| Palavras-chave | Aplicações Estáveis, Cúspides, Superfície Fechada. |
| Forma de apresentação..... | Oral, Painel |