Conexão de Saberes e Mundialização
19 a 24 de outubro de 2015
Trabalho 4621
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Sabrina Ferreira Marciano Faria |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Grupos de Reflexões |
| Resumo | O conceito de simetria é fortemente aplicado em vários campos da Matemática e das ciências naturais, como na Física, Biologia e na Química. A estrutura algébrica que melhor expressa as simetrias é a teoria de grupos; mais especificamente, grupos gerados por reflexões. Uma reflexão é um operador linear que fixa um hiperplano de um espaço vetorial e leva os vetores de seu complemento ortogonal em seus simétricos. Um grupo de reflexões é um subgrupo do grupo de operadores ortogonais de um espaço vetorial gerado por reflexões. Mostra-se que no plano os operadores ortogonais são as rotações e as reflexões. Uma classificação dos grupos de rotações no espaço tridimensional mostra que estes se restringem aos grupos cíclicos, diedrais e aos grupos de rotações do tetraedro, do octaedro e do dodecaedro. Para espaços de dimensão maiores, uma classificação dos grupos de reflexão finitos é fornecida por meio de diagramas de Dynkin. Esta classificação dos grupos de reflexão finitos pode ser obtida via sistemas de raízes (que também classificam Álgebras de Lie semisimples sobre complexos), que é um conjunto de vetores geradores um espaço Euclidiano e satisfazem certas propriedades. Casos particulares como sistemas de raízes cristalográficas e os respectivos grupos de Weil são de grande aplicação nas ciências naturais, por exemplo, na Cristalografia. Nossos objetivos nesta apresentação são abordar os conceitos geométricos envolvidos e suas conexões com estruturas algébricas, apresentar os diagramas de Dynkin e as idéias fundamentais que levam a demonstração desta classificação. Este trabalho é parte do projeto “Álgebras Cluster e Grupos de Coxeter”, ainda em andamento, que visa estudar as conexões entre as classificações dos grupos de reflexões finitos e das álgebras cluster de tipo finito, ambas descritas pelos diagramas de Dynkin. Tal conexão permite novas abordagens uma vez que a estrutura algébrica agora utilizada, ao invés da teoria de grupos, é uma álgebra de funções racionais (polinomiais). Será utilizada, como ferramenta principal para essa conexão, o teorema de Formin-Zelevinski que demonstra que existe uma correspondência biunívoca entre as raízes positivas associadas a um grupo de reflexões e os expoentes nos monômios dos denominadores das variáveis cluster. |
| Palavras-chave | Simetrias, Grupos de Reflexões, Diagramas de Dynkin |
| Forma de apresentação..... | Painel |