Conexão de Saberes e Mundialização
19 a 24 de outubro de 2015
Trabalho 4197
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Bruna Maria Frutuoso |
| Orientador | ABILIO LEMOS CARDOSO JUNIOR |
| Título | Duas demonstrações do Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv. |
| Resumo | No trabalho em questão apresentamos demonstrações de três teoremas importantes em Teoria dos Números, com um foco maior ao Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv que representa um importante resultado sobre a adição de classes de congruência. O objetivo desse teorema é dar características ao comprimento de sequências de números inteiros, considerando algumas condições. Inicialmente, será apresentada uma demonstração do Teorema de Chevalley-Warning que diz o seguinte: Sejam f1,...,fm polinômios em n variáveis, sem termo constante e com graus totais d1,...,dm respectivamente. Se o número de variáveis é maior ou igual à soma dos graus totais d1+,...,+dm, então existe (b1,...,bn)≠(0,...,0), ou seja, m inteiros não todos nulos, tais que: f1(b1,...,bn) ≡ f2(b1,...,bn)≡...≡ fm(b1,...,bn) ≡ 0 (mod p), um zero simultâneo para f1,...,fm módulo p. Também vamos apresentar uma demonstração do Teorema de Cauchy-Davenport que diz o seguinte: Sejam p um número primo, A e B subconjuntos não vazios do conjunto das classes de equivalência módulo p (Zp). Então, a cardinalidade do conjunto soma A+B é maior ou igual ao menor valor entre p e a soma das cardinalidades de A e B, menos 1. Matematicamente, dizemos que |A+B|≥ min{p,|A|+|B|-1} Onde |A+B|,|A|,|B| representa a cardinalidade do conjunto soma A+B e dos subconjuntos A e B, respectivamente. Depois de demonstrados esses importantes Teoremas, apresentamos como corolário o Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv, enunciado da seguinte forma: Dada uma sequência de números inteiros com 2p-1 elementos, onde p é um número natural primo, então existe uma subsequência de comprimento p cuja soma de seus elementos é um múltiplo de p. Fornecemos duas demonstrações diferentes: uma baseada no Teorema de Chevalley-Warning e outra com base no Teorema de Cauchy-Davenport. Por fim, mostramos que o Teorema é válido para todo número natural, ou seja, que qualquer sequência com 2n+1 elementos, com n maior ou igual a 1, existe uma subsequência de n elementos cuja soma de seus elementos é um múltiplo de n. Esse último resultado consiste em provar que se o Teorema é válido para dois números primos, então vale também para o produto deles. |
| Palavras-chave | Chevalley-Warning, Cauchy-Davenport, Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv |
| Forma de apresentação..... | Painel |