Conexão de Saberes e Mundialização
19 a 24 de outubro de 2015
Trabalho 4093
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Ray Santos Gobbi |
| Orientador | WALTER TEOFILO HUARACA VARGAS |
| Título | Números e Topologia |
| Resumo | Introdução O conceito de número, em particular o de número inteiro, é um dos mais antigos e fundamentais da ciência em geral e é atualmente uma das áreas de pesquisa mais efervescentes da matemática. No presente projeto pretendemos iniciar um estudo sobre alguns aspectos da teoria dos números elementares de um ponto de vista geométrico, ao contrário da abordagem estritamente algébrica habitual. Iniciaremos nossos estudos com as ternas pitagóricas, estudando a existência das mesmas e a relação delas com a existência de pontos racionais sobre curvas quadráticas, formas quadráticas, números complexos e equações diofantinas. A continuação exploraremos o diagrama de Farey e sua relação com as ternas pitagóricas, o algoritmo de Euclides, as transformações fracionarias do plano e as formas quadráticas e suas classificações. Projeto de Pesquisa A trama principal do projeto é apresentar provas de fatos conhecidos da teoria dos números elementares fazendo uso de métodos geométricos e topológicos. Em particular, queremos apresentar provas dos seguintes fatos conhecidos: Teorema 1: Todas as ternas pitagóricas (a,b,c) são obtidas pela formula: (a,b,c)=(2pq,p²-q²,p²+q²) Onde p e q são inteiros positivos, p>q, sem fatores em comum e de paridade diferente. Diagrama de Farey: Apresentaremos a construção geométrica do diagrama de Farey, estudaremos as relações entre seus pontos, a forma de obter eles e sua relação com as ternas pitagóricas. Frações continuas: A seguir estudaremos as frações contínuas e suas relações com ternas pitagóricas e o diagrama de Farey, em particular estamos interessados em apresentar uma prova do seguinte teorema. Teorema de Lagrange: Os números irracionais com fração contínua eventualmente periódica são os números da forma a+b√n, onde a,b∈Q com b≠0 e n∈N não quadrado. Transformações Lineares Fracionárias: Estudaremos as Transformações Fracionárias e suas principais propriedades geométricas. Finalmente tentaremos estudar as possíveis relações das mesmas com as frações contínuas e em particular com as ternas pitagóricas. Formas Quadráticas: Nosso objetivo será o de descrever uma maneira mais eficiente de encontrar as soluções inteiras de x²+y²=n e para exibi-los graficamente de uma maneira que lança muita luz sobre a sua estrutura. A Classificação das formas Quadráticas: Estudar as quatro grandes formas quadráticas em classes de acordo com os sinais dos valores Q(x,y) para (x,y)≠(0,0), em que restringindo x e y para números inteiros. |
| Palavras-chave | Números e Topologia, Topologia, Ternas Pitagóricas |
| Forma de apresentação..... | Painel |