Ciência e Tecnologia: bases para o Desenvolvimento Social
20 a 25 de outubro de 2014
Trabalho 3518
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Pós-graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CAPES |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Primeiro autor | Lizeth Gabriela Cruz Valdivia |
| Orientador | MARINES GUERREIRO |
| Título | Introdução à categorificação algébrica |
| Resumo | A Teoria de Categorificação Algébrica envolve conhecimento de temas de várias subáreas da Álgebra, dentre os quais tópicos da Teoria de Categorias, Teoria de Anéis e Módulos, Teoria de Representações de Álgebras e Grupos,etc. O termo categorificação foi introduzido por Louis Crane em Clock and category is quantum gravity algebraic, no ano 1995, e a ideia se origina no seu trabalho anterior Four–dimensional topological quantum field theory, Hopf categories, and the canonical bases publicado no Topology and Physics, de 1994. A ideia de categorificação no estudo de um objeto é a de dotá-lo de uma estrutura mais complexa e que seja de utilidade no estudo do objeto original, daí que o tipo de estrutura depende diretamente do objeto que está sendo estudado. Por outro lado, a ideia de decategorificação, que às vezes pode ser considerada como a ideia oposta à de categorificação, é a de estudar um objeto algébrico deixando de lado sua estrutura, ou seja, estudando só o objeto por ele mesmo. Uma estrutura importante na Teoria de Categorificação é o chamado Grupo de Grothendieck de uma categoria essencialmente pequena que é um grupo abeliano associado a uma operação binária na categoria. Para uma categoria C não vazia, definimos uma operação binária * em C por um bifuntor * de CxC em C que associa, a cada par de objetos (a,b) em CxC, o objeto a*b em C e, a cada par (f,g) de morfismos em C, o morfismo f*g em C. Denotamos a classe das classes de isomorfismos dos objetos de C por Siso(C). Se * é uma operação binária em C, define-se uma operação binária em Siso(C) por [a] * [b] := [a * b]. O grupo abeliano livre gerado por Siso(C) é denotado por Giso(C). Seja C uma categoria essencialmente pequena e * uma operação binária em C. Considere N(C) o subgrupo normal de Giso(C) gerado por: {[a * b] - [a] - [b], tal que a e b são Objetos na categoria C}. O grupo de Grothendieck** G0(C,*) de C em relação a * é o grupo quociente de Giso(C) por N(C). Uma maneira de se calcular o grupo de Grothendieck de uma categoria C sobre a qual está definida uma operação binária * associativa e comutativa é pelo completamento de grupo do semigrupo (Siso(C),*). Neste trabalho apresentamos esta e outra maneira de se verificar quando um grupo abeliano é o grupo de Grothendieck de uma categoria. |
| Palavras-chave | Categorificação, Grupo de Grothendieck, Decategorificação |
| Forma de apresentação..... | Painel |